Raisonnements de géométrie plane (4e)

QCM · 16 questions Difficulté : Difficile · Mathématiques · Publié le 15 oct. 2026

Chapitre : Géométrie plane : démontrer (4e) ›

Programme de référence : Attendus de fin d'année en mathématiques de 4e, ressource Éduscol (programme du BO n° 31 du 30 juillet 2020)

Ce quiz porte sur le raisonnement en géométrie plane. Il aborde le théorème de Pythagore et sa réciproque, le cosinus d'un angle aigu, l'égalité des triangles, le théorème de Thalès avec des droites parallèles, les translations, la somme des angles d'un triangle et les angles complémentaires. Les situations proposées sont des raisonnements d'élèves à juger, des calculs menés en plusieurs étapes, ou des figures à analyser, comme une frise, un parallélogramme ou une translation. Il faut juger, calculer ou conclure en s'appuyant sur les bonnes propriétés.

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Raisonnements de géométrie plane (4e)

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16 questions

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Question 1 / 16

Un élève affirme que le triangle DEF, avec DE = 8 cm, DF = 15 cm et EF = 16 cm, est rectangle en D, car il croit reconnaître le triplet 8, 15, 17. Quelle est son erreur ?

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Question 2 / 16

Un élève veut calculer le côté [BC] d'un triangle ABC. Sans avoir vérifié la nature du triangle, il écrit $BC^2 = AB^2 + AC^2$ . Quelle condition doit-il vérifier avant d'écrire cette égalité ?

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Question 3 / 16

Dans un triangle ABC rectangle en A, on a BC = 13 cm et AC = 5 cm. Un élève calcule AB en écrivant $AB^2 = BC^2 + AC^2$ . Quelle conséquence cela a-t-il sur son résultat ?

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Question 4 / 16

Dans un triangle ABC rectangle en A, un élève calcule $\cos(\widehat{B})$ en prenant le quotient $\frac{BC}{AB}$ et trouve $\frac{13}{12}$ . Quelle est son erreur ?

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Question 5 / 16

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont dans le rapport 2 : 7, le plus petit étant représenté par 2 parts et le plus grand par 7 parts. Quelle est la mesure de l'angle aigu le plus grand ?

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Question 6 / 16

Dans le triangle ABC, M appartient à [AB], N appartient à [AC] et (MN) est parallèle à (BC). Avec AM = 2 cm, AB = 5 cm et BC = 10 cm, un élève écrit $\frac{MN}{BC}=\frac{AB}{AM}$ et trouve MN = 25 cm. Quelle est son erreur ?

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Question 7 / 16

Dans un parallélogramme ABCD, les diagonales se coupent en O. On sait que OA = 3 cm et OB = 4 cm. Un élève affirme : « Le triangle OAB est rectangle en O, donc AB = 5 cm ». Que répondre ?

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Question 8 / 16

Dans un triangle, un angle mesure 60° et les deux autres angles sont dans le rapport 1 : 2. Quelle est la mesure du plus grand de ces deux angles ?

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Question 9 / 16

Dans un triangle ABC rectangle en A, on a BC = 30 cm et $\cos(\widehat{B}) = 0{,}8$ . Quelle est la longueur AC ?

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Question 10 / 16

Les triangles ABC et DEF sont égaux, leurs sommets se correspondant dans l'ordre des lettres (A et D, B et E, C et F). On sait que AB = 5 cm, BC = 6 cm et $\widehat{C} = 70^\circ$ . Un élève écrit : DE = 6 cm et $\widehat{F} = 70^\circ$ . Quelle est son erreur ?

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Question 11 / 16

Un triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 5 cm et AC = 12 cm. Son image A'B'C' par une translation est tracée. Quelle est la longueur de l'hypoténuse [B'C'] ?

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Question 12 / 16

Le triangle ABC est rectangle en A. Par une translation, il devient le triangle A'B'C'. Un élève pense que A'B'C' n'est plus rectangle, car la figure a été déplacée. Que répondre ?

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Question 13 / 16

Un triangle MNP a MN = 6 cm, NP = 8 cm et MP = 9 cm. Un élève affirme qu'il est rectangle en N, car $6^2 + 8^2 = 10^2$ et 9 est proche de 10. Quelle est son erreur ?

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Question 14 / 16

Dans un triangle ABC rectangle en A, on a AB = 6 cm et BC = 10 cm, donc $\cos(\widehat{B}) = 0{,}6$ . Un élève affirme que $\cos(\widehat{C}) = 0{,}4$ , car $\widehat{B} +$ $\widehat{C} =$ $90^\circ$ et $1 - 0{,}6 = 0{,}4$ . Que répondre ?

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Question 15 / 16

Dans une frise, un motif sans axe de symétrie est reproduit une case sur deux par symétrie axiale. Un élève affirme que son image par symétrie axiale peut être obtenue, à partir du motif initial, par une simple translation. A-t-il raison ?

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Question 16 / 16

Par une translation, le point A a pour image A'. Un point B est tel que AB = 4 cm, et B' est son image par la même translation. Si AA' = 6 cm, quelle est la longueur BB' ?

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Un élève affirme que le triangle DEF, avec DE = 8 cm, DF = 15 cm et EF = 16 cm, est rectangle en D, car il croit reconnaître le triplet 8, 15, 17. Quelle est son erreur ?

Réponse A : Il a confondu EF = 16 cm avec 17 cm : $8^2 + 15^2 = 17^2$ , mais $16^2 = 256 \neq 289$ , donc DEF n'est pas rectangle en D

Si DEF était rectangle en D, on aurait $EF^2 =$ $DE^2 + DF^2 =$ $289$ , soit EF = 17 cm. Or $16^2 = 256$ : l'égalité est fausse.
Un élève veut calculer le côté [BC] d'un triangle ABC. Sans avoir vérifié la nature du triangle, il écrit $BC^2 = AB^2 + AC^2$ . Quelle condition doit-il vérifier avant d'écrire cette égalité ?

Réponse C : Que l'angle en A soit droit : le théorème de Pythagore ne s'applique que dans un triangle rectangle en A

Pythagore ne vaut que pour un triangle rectangle : si l'angle en A n'est pas droit, l'égalité $BC^2 = AB^2 + AC^2$ est fausse.
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a BC = 13 cm et AC = 5 cm. Un élève calcule AB en écrivant $AB^2 = BC^2 + AC^2$ . Quelle conséquence cela a-t-il sur son résultat ?

Réponse B : Son résultat est impossible : AB dépasserait l'hypoténuse BC, qui est le plus long côté

BC est l'hypoténuse : $AB^2 =$ $BC^2 - AC^2 =$ $144$ , donc AB = 12 cm. Avec une somme, AB vaudrait environ 13,9 cm, plus long que BC.
Dans un triangle ABC rectangle en A, un élève calcule $\cos(\widehat{B})$ en prenant le quotient $\frac{BC}{AB}$ et trouve $\frac{13}{12}$ . Quelle est son erreur ?

Réponse A : Il a inversé le quotient : $\cos(\widehat{B}) =$ $\frac{AB}{BC}$ , et le cosinus d'un angle aigu est inférieur à 1

Le cosinus d'un angle aigu est le côté adjacent divisé par l'hypoténuse : $\frac{AB}{BC}$ . L'hypoténuse étant le plus long côté, ce quotient est compris entre 0 et 1.
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont dans le rapport 2 : 7, le plus petit étant représenté par 2 parts et le plus grand par 7 parts. Quelle est la mesure de l'angle aigu le plus grand ?

Réponse C : 70°

Les deux angles aigus ont pour somme $90^\circ$ : $2k + 7k = 90$ , donc $k = 10$ et le plus grand vaut $7 \times 10 = 70^\circ$ .
Dans le triangle ABC, M appartient à [AB], N appartient à [AC] et (MN) est parallèle à (BC). Avec AM = 2 cm, AB = 5 cm et BC = 10 cm, un élève écrit $\frac{MN}{BC}=\frac{AB}{AM}$ et trouve MN = 25 cm. Quelle est son erreur ?

Réponse D : Il a retourné le rapport : $\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}$ , donc $MN = 10 \times \frac{2}{5} = 4$ cm

Thalès donne $\frac{MN}{BC}=$ $\frac{AM}{AB}=$ $\frac{2}{5}$ , donc MN = 4 cm : MN est plus court que BC.
Dans un parallélogramme ABCD, les diagonales se coupent en O. On sait que OA = 3 cm et OB = 4 cm. Un élève affirme : « Le triangle OAB est rectangle en O, donc AB = 5 cm ». Que répondre ?

Réponse B : On ne peut pas conclure : Pythagore exige un triangle rectangle, et rien ne prouve que l'angle en O soit droit

Pythagore ne vaut que si l'angle en O est droit. Rien dans l'énoncé ne l'établit : la longueur AB ne peut pas être calculée ainsi.
Dans un triangle, un angle mesure 60° et les deux autres angles sont dans le rapport 1 : 2. Quelle est la mesure du plus grand de ces deux angles ?

Réponse C : 80°

Les deux autres angles totalisent $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ : en 1 + 2 = 3 parts, une part vaut 40°, et le plus grand angle vaut 80°.
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a BC = 30 cm et $\cos(\widehat{B}) = 0{,}8$ . Quelle est la longueur AC ?

Réponse B : 18 cm

$\cos(\widehat{B})=$ $\frac{AB}{BC}$ donne $AB = 0{,}8 \times 30 = 24$ cm, puis $AC^2 =$ $30^2 - 24^2 =$ $324$ , donc AC = 18 cm.
Les triangles ABC et DEF sont égaux, leurs sommets se correspondant dans l'ordre des lettres (A et D, B et E, C et F). On sait que AB = 5 cm, BC = 6 cm et $\widehat{C} = 70^\circ$ . Un élève écrit : DE = 6 cm et $\widehat{F} = 70^\circ$ . Quelle est son erreur ?

Réponse A : Il a confondu les côtés : DE correspond à AB, donc il mesure 5 cm ; l'angle $\widehat{F} = 70^\circ$ est juste

Dans des triangles égaux, les éléments correspondants sont égaux : D et A, E et B, F et C. Donc DE = AB = 5 cm et $\widehat{F} =$ $\widehat{C} =$ $70^\circ$ .
Un triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 5 cm et AC = 12 cm. Son image A'B'C' par une translation est tracée. Quelle est la longueur de l'hypoténuse [B'C'] ?

Réponse D : 13 cm : BC = 13 cm par Pythagore, et la translation conserve les longueurs

Pythagore donne $BC^2 =$ $5^2 + 12^2 =$ $169$ , donc BC = 13 cm. Une translation conserve les longueurs : B'C' = 13 cm.
Le triangle ABC est rectangle en A. Par une translation, il devient le triangle A'B'C'. Un élève pense que A'B'C' n'est plus rectangle, car la figure a été déplacée. Que répondre ?

Réponse B : Il a tort : une translation conserve les mesures des angles, donc A'B'C' est rectangle en A'

Une translation fait glisser une figure sans la tourner ni la retourner : elle conserve les mesures des angles. L'angle droit reste en A'.
Un triangle MNP a MN = 6 cm, NP = 8 cm et MP = 9 cm. Un élève affirme qu'il est rectangle en N, car $6^2 + 8^2 = 10^2$ et 9 est proche de 10. Quelle est son erreur ?

Réponse C : Il a confondu MP = 9 cm avec 10 cm : $9^2 = 81$ , alors que $6^2 + 8^2 = 100$ , donc l'angle en N n'est pas droit

La réciproque exige une égalité exacte : $9^2 =$ $81 \neq$ $100 =$ $6^2 + 8^2$ . Le triangle n'est pas rectangle en N.
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a AB = 6 cm et BC = 10 cm, donc $\cos(\widehat{B}) = 0{,}6$ . Un élève affirme que $\cos(\widehat{C}) = 0{,}4$ , car $\widehat{B} +$ $\widehat{C} =$ $90^\circ$ et $1 - 0{,}6 = 0{,}4$ . Que répondre ?

Réponse D : Il a tort : $AC = 8$ cm, donc $\cos(\widehat{C}) =$ $\frac{AC}{BC} =$ $0{,}8$ , et non $1 - \cos(\widehat{B})$

Le cosinus de C se calcule avec ses propres côtés : AC = 8 cm (Pythagore), donc $\frac{AC}{BC} =$ $\frac{8}{10} =$ $0{,}8$ .
Dans une frise, un motif sans axe de symétrie est reproduit une case sur deux par symétrie axiale. Un élève affirme que son image par symétrie axiale peut être obtenue, à partir du motif initial, par une simple translation. A-t-il raison ?

Réponse C : Non : une translation fait glisser une figure sans la retourner, donc un motif retourné ne vient pas d'une translation

Une translation fait glisser la figure sans la tourner ni la retourner : l'image miroir d'un motif sans axe de symétrie ne peut donc pas être obtenue par une simple translation.
Par une translation, le point A a pour image A'. Un point B est tel que AB = 4 cm, et B' est son image par la même translation. Si AA' = 6 cm, quelle est la longueur BB' ?

Réponse B : 6 cm

Une translation fait apparaître le quadrilatère AA'B'B comme un parallélogramme. Ses côtés opposés [AA'] et [BB'] ont la même longueur : BB' = AA' = 6 cm, quelle que soit la longueur de [AB].

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QCM · 16 questions · niveau difficile

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Questions

1
Un élève affirme que le triangle DEF, avec DE = 8 cm, DF = 15 cm et EF = 16 cm, est rectangle en D, car il croit reconnaître le triplet 8, 15, 17. Quelle est son erreur ?
- AIl a confondu EF = 16 cm avec 17 cm : $8^2 + 15^2 = 17^2$ , mais $16^2 = 256 \neq 289$ , donc DEF n'est pas rectangle en D
- BIl a multiplié 8 par 15 au lieu d'additionner leurs carrés, ce qui donne $8 \times 15 = 120$ au lieu de 289
- CIl a oublié que l'hypoténuse est le plus petit côté, donc EF devrait mesurer 8 cm
- DSon raisonnement est juste : 16 est le plus grand côté, donc il est l'hypoténuse et l'angle en D est droit
2
Un élève veut calculer le côté [BC] d'un triangle ABC. Sans avoir vérifié la nature du triangle, il écrit $BC^2 = AB^2 + AC^2$ . Quelle condition doit-il vérifier avant d'écrire cette égalité ?
- AQue le triangle ABC soit isocèle en A, pour que AB et AC soient égaux
- BQue la somme des angles aigus de ABC soit égale à 180°
- CQue l'angle en A soit droit : le théorème de Pythagore ne s'applique que dans un triangle rectangle en A
- DQue BC soit le plus petit côté du triangle
3
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a BC = 13 cm et AC = 5 cm. Un élève calcule AB en écrivant $AB^2 = BC^2 + AC^2$ . Quelle conséquence cela a-t-il sur son résultat ?
- ASon résultat est juste : pour un côté de l'angle droit, on additionne toujours les carrés des deux autres côtés
- BSon résultat est impossible : AB dépasserait l'hypoténuse BC, qui est le plus long côté
- CSon résultat est trop petit : il fallait calculer $13 - 5 = 8$ cm
- DSon résultat est presque exact : $\sqrt{194}$ est proche de 12, la valeur attendue
4
Dans un triangle ABC rectangle en A, un élève calcule $\cos(\widehat{B})$ en prenant le quotient $\frac{BC}{AB}$ et trouve $\frac{13}{12}$ . Quelle est son erreur ?
- AIl a inversé le quotient : $\cos(\widehat{B}) =$ $\frac{AB}{BC}$ , et le cosinus d'un angle aigu est inférieur à 1
- BIl a bien calculé : un cosinus peut dépasser 1 lorsque l'angle est grand
- CIl a calculé le sinus au lieu du cosinus, ce qui donne toujours une valeur supérieure à 1
- DLe calcul est juste : le cosinus est toujours le plus grand côté divisé par le plus petit
5
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont dans le rapport 2 : 7, le plus petit étant représenté par 2 parts et le plus grand par 7 parts. Quelle est la mesure de l'angle aigu le plus grand ?
- A63°
- B20°
- C70°
- D45°
6
Dans le triangle ABC, M appartient à [AB], N appartient à [AC] et (MN) est parallèle à (BC). Avec AM = 2 cm, AB = 5 cm et BC = 10 cm, un élève écrit $\frac{MN}{BC}=\frac{AB}{AM}$ et trouve MN = 25 cm. Quelle est son erreur ?
- AIl a bien fait : MN peut dépasser BC, puisque AB est plus grand que AM
- BIl a oublié la réciproque de Thalès, qui permettrait de calculer MN autrement
- CIl a confondu MN et AM : le segment MN mesure 2 cm, comme AM
- DIl a retourné le rapport : $\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}$ , donc $MN = 10 \times \frac{2}{5} = 4$ cm
7
Dans un parallélogramme ABCD, les diagonales se coupent en O. On sait que OA = 3 cm et OB = 4 cm. Un élève affirme : « Le triangle OAB est rectangle en O, donc AB = 5 cm ». Que répondre ?
- AIl a raison : les diagonales d'un parallélogramme sont toujours perpendiculaires
- BOn ne peut pas conclure : Pythagore exige un triangle rectangle, et rien ne prouve que l'angle en O soit droit
- CIl a tort : AB = OA + OB = 7 cm, car O est le milieu des diagonales
- DIl a raison, car tout triangle dont deux côtés mesurent 3 cm et 4 cm est rectangle
8
Dans un triangle, un angle mesure 60° et les deux autres angles sont dans le rapport 1 : 2. Quelle est la mesure du plus grand de ces deux angles ?
- A40°
- B60°
- C80°
- D120°
9
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a BC = 30 cm et $\cos(\widehat{B}) = 0{,}8$ . Quelle est la longueur AC ?
- A6 cm
- B18 cm
- C24 cm
- Denviron 38,4 cm
10
Les triangles ABC et DEF sont égaux, leurs sommets se correspondant dans l'ordre des lettres (A et D, B et E, C et F). On sait que AB = 5 cm, BC = 6 cm et $\widehat{C} = 70^\circ$ . Un élève écrit : DE = 6 cm et $\widehat{F} = 70^\circ$ . Quelle est son erreur ?
- AIl a confondu les côtés : DE correspond à AB, donc il mesure 5 cm ; l'angle $\widehat{F} = 70^\circ$ est juste
- BIl a raison : DE et BC sont en face de l'angle C, donc de même longueur
- CIl a tort sur l'angle : $\widehat{F}$ correspond à $\widehat{A}$ , il ne peut donc pas valoir 70°
- DIl a tort pour les deux : les triangles égaux ont tous leurs côtés de 5 cm
11
Un triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 5 cm et AC = 12 cm. Son image A'B'C' par une translation est tracée. Quelle est la longueur de l'hypoténuse [B'C'] ?
- A17 cm, en additionnant les deux côtés de l'angle droit
- B7 cm, en soustrayant 5 de 12
- CUne longueur qui change avec le vecteur de translation
- D13 cm : BC = 13 cm par Pythagore, et la translation conserve les longueurs
12
Le triangle ABC est rectangle en A. Par une translation, il devient le triangle A'B'C'. Un élève pense que A'B'C' n'est plus rectangle, car la figure a été déplacée. Que répondre ?
- AIl a raison : une translation modifie les angles dès que la figure change de place
- BIl a tort : une translation conserve les mesures des angles, donc A'B'C' est rectangle en A'
- CIl a tort seulement si le vecteur de translation est horizontal
- DIl a raison : la translation retourne la figure, ce qui transforme l'angle droit en angle aigu
13
Un triangle MNP a MN = 6 cm, NP = 8 cm et MP = 9 cm. Un élève affirme qu'il est rectangle en N, car $6^2 + 8^2 = 10^2$ et 9 est proche de 10. Quelle est son erreur ?
- AIl a raison : une égalité approchée suffit pour prouver qu'un angle est droit
- BIl a confondu les rôles : MP est l'hypoténuse, donc l'angle droit est en M
- CIl a confondu MP = 9 cm avec 10 cm : $9^2 = 81$ , alors que $6^2 + 8^2 = 100$ , donc l'angle en N n'est pas droit
- DIl a bien conclu, mais il devait écrire $6 + 8 = 14$ au lieu de $6^2 + 8^2$
14
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a AB = 6 cm et BC = 10 cm, donc $\cos(\widehat{B}) = 0{,}6$ . Un élève affirme que $\cos(\widehat{C}) = 0{,}4$ , car $\widehat{B} +$ $\widehat{C} =$ $90^\circ$ et $1 - 0{,}6 = 0{,}4$ . Que répondre ?
- AIl a raison : $\cos(\widehat{C}) =$ $1 - \cos(\widehat{B})$ , puisque les angles B et C sont complémentaires
- B $\cos(\widehat{C}) =$ $0{,}75$ , car le cosinus de C est $\frac{AB}{AC} = \frac{6}{8}$
- C $\cos(\widehat{C}) =$ $1{,}25$ , car le cosinus de C est $\frac{BC}{AC} = \frac{10}{8}$
- DIl a tort : $AC = 8$ cm, donc $\cos(\widehat{C}) =$ $\frac{AC}{BC} =$ $0{,}8$ , et non $1 - \cos(\widehat{B})$
15
Dans une frise, un motif sans axe de symétrie est reproduit une case sur deux par symétrie axiale. Un élève affirme que son image par symétrie axiale peut être obtenue, à partir du motif initial, par une simple translation. A-t-il raison ?
- AOui : un motif retourné garde les mêmes longueurs, donc il vient bien d'une translation
- BOui : une translation peut retourner un motif lorsque le vecteur est assez long
- CNon : une translation fait glisser une figure sans la retourner, donc un motif retourné ne vient pas d'une translation
- DNon, car une frise ne peut jamais contenir deux motifs identiques
16
Par une translation, le point A a pour image A'. Un point B est tel que AB = 4 cm, et B' est son image par la même translation. Si AA' = 6 cm, quelle est la longueur BB' ?
- A4 cm, comme le segment [AB]
- B6 cm
- C10 cm, en additionnant 4 et 6
- D2 cm, en soustrayant 4 de 6

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Corrigé et explications

Raisonnements de géométrie plane (4e)

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

1

A · Il a confondu EF = 16 cm avec 17 cm : $8^2 + 15^2 = 17^2$ , mais $16^2 = 256 \neq 289$ , donc DEF n'est pas rectangle en D

Si DEF était rectangle en D, on aurait $EF^2 =$ $DE^2 + DF^2 =$ $289$ , soit EF = 17 cm. Or $16^2 = 256$ : l'égalité est fausse.
2

C · Que l'angle en A soit droit : le théorème de Pythagore ne s'applique que dans un triangle rectangle en A

Pythagore ne vaut que pour un triangle rectangle : si l'angle en A n'est pas droit, l'égalité $BC^2 = AB^2 + AC^2$ est fausse.
3

B · Son résultat est impossible : AB dépasserait l'hypoténuse BC, qui est le plus long côté

BC est l'hypoténuse : $AB^2 =$ $BC^2 - AC^2 =$ $144$ , donc AB = 12 cm. Avec une somme, AB vaudrait environ 13,9 cm, plus long que BC.
4

A · Il a inversé le quotient : $\cos(\widehat{B}) =$ $\frac{AB}{BC}$ , et le cosinus d'un angle aigu est inférieur à 1

Le cosinus d'un angle aigu est le côté adjacent divisé par l'hypoténuse : $\frac{AB}{BC}$ . L'hypoténuse étant le plus long côté, ce quotient est compris entre 0 et 1.
5

C · 70°

Les deux angles aigus ont pour somme $90^\circ$ : $2k + 7k = 90$ , donc $k = 10$ et le plus grand vaut $7 \times 10 = 70^\circ$ .
6

D · Il a retourné le rapport : $\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}$ , donc $MN = 10 \times \frac{2}{5} = 4$ cm

Thalès donne $\frac{MN}{BC}=$ $\frac{AM}{AB}=$ $\frac{2}{5}$ , donc MN = 4 cm : MN est plus court que BC.
7

B · On ne peut pas conclure : Pythagore exige un triangle rectangle, et rien ne prouve que l'angle en O soit droit

Pythagore ne vaut que si l'angle en O est droit. Rien dans l'énoncé ne l'établit : la longueur AB ne peut pas être calculée ainsi.
8

C · 80°

Les deux autres angles totalisent $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ : en 1 + 2 = 3 parts, une part vaut 40°, et le plus grand angle vaut 80°.
9

B · 18 cm

$\cos(\widehat{B})=$ $\frac{AB}{BC}$ donne $AB = 0{,}8 \times 30 = 24$ cm, puis $AC^2 =$ $30^2 - 24^2 =$ $324$ , donc AC = 18 cm.
10

A · Il a confondu les côtés : DE correspond à AB, donc il mesure 5 cm ; l'angle $\widehat{F} = 70^\circ$ est juste

Dans des triangles égaux, les éléments correspondants sont égaux : D et A, E et B, F et C. Donc DE = AB = 5 cm et $\widehat{F} =$ $\widehat{C} =$ $70^\circ$ .
11

D · 13 cm : BC = 13 cm par Pythagore, et la translation conserve les longueurs

Pythagore donne $BC^2 =$ $5^2 + 12^2 =$ $169$ , donc BC = 13 cm. Une translation conserve les longueurs : B'C' = 13 cm.
12

B · Il a tort : une translation conserve les mesures des angles, donc A'B'C' est rectangle en A'

Une translation fait glisser une figure sans la tourner ni la retourner : elle conserve les mesures des angles. L'angle droit reste en A'.
13

C · Il a confondu MP = 9 cm avec 10 cm : $9^2 = 81$ , alors que $6^2 + 8^2 = 100$ , donc l'angle en N n'est pas droit

La réciproque exige une égalité exacte : $9^2 =$ $81 \neq$ $100 =$ $6^2 + 8^2$ . Le triangle n'est pas rectangle en N.
14

D · Il a tort : $AC = 8$ cm, donc $\cos(\widehat{C}) =$ $\frac{AC}{BC} =$ $0{,}8$ , et non $1 - \cos(\widehat{B})$

Le cosinus de C se calcule avec ses propres côtés : AC = 8 cm (Pythagore), donc $\frac{AC}{BC} =$ $\frac{8}{10} =$ $0{,}8$ .
15

C · Non : une translation fait glisser une figure sans la retourner, donc un motif retourné ne vient pas d'une translation

Une translation fait glisser la figure sans la tourner ni la retourner : l'image miroir d'un motif sans axe de symétrie ne peut donc pas être obtenue par une simple translation.
16

B · 6 cm

Une translation fait apparaître le quadrilatère AA'B'B comme un parallélogramme. Ses côtés opposés [AA'] et [BB'] ont la même longueur : BB' = AA' = 6 cm, quelle que soit la longueur de [AB].

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Raisonnements de géométrie plane (4e)

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Un élève affirme que le triangle DEF, avec DE = 8 cm, DF = 15 cm et EF = 16 cm, est rectangle en D, car il croit reconnaître le triplet 8, 15, 17. Quelle est son erreur ?

Un élève veut calculer le côté [BC] d'un triangle ABC. Sans avoir vérifié la nature du triangle, il écrit $BC^2 = AB^2 + AC^2$ . Quelle condition doit-il vérifier avant d'écrire cette égalité ?

Dans un triangle ABC rectangle en A, on a BC = 13 cm et AC = 5 cm. Un élève calcule AB en écrivant $AB^2 = BC^2 + AC^2$ . Quelle conséquence cela a-t-il sur son résultat ?

Dans un triangle ABC rectangle en A, un élève calcule $\cos(\widehat{B})$ en prenant le quotient $\frac{BC}{AB}$ et trouve $\frac{13}{12}$ . Quelle est son erreur ?

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont dans le rapport 2 : 7, le plus petit étant représenté par 2 parts et le plus grand par 7 parts. Quelle est la mesure de l'angle aigu le plus grand ?

Dans le triangle ABC, M appartient à [AB], N appartient à [AC] et (MN) est parallèle à (BC). Avec AM = 2 cm, AB = 5 cm et BC = 10 cm, un élève écrit $\frac{MN}{BC}=\frac{AB}{AM}$ et trouve MN = 25 cm. Quelle est son erreur ?

Dans un parallélogramme ABCD, les diagonales se coupent en O. On sait que OA = 3 cm et OB = 4 cm. Un élève affirme : « Le triangle OAB est rectangle en O, donc AB = 5 cm ». Que répondre ?

Dans un triangle, un angle mesure 60° et les deux autres angles sont dans le rapport 1 : 2. Quelle est la mesure du plus grand de ces deux angles ?

Dans un triangle ABC rectangle en A, on a BC = 30 cm et $\cos(\widehat{B}) = 0{,}8$ . Quelle est la longueur AC ?

Les triangles ABC et DEF sont égaux, leurs sommets se correspondant dans l'ordre des lettres (A et D, B et E, C et F). On sait que AB = 5 cm, BC = 6 cm et $\widehat{C} = 70^\circ$ . Un élève écrit : DE = 6 cm et $\widehat{F} = 70^\circ$ . Quelle est son erreur ?

Un triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 5 cm et AC = 12 cm. Son image A'B'C' par une translation est tracée. Quelle est la longueur de l'hypoténuse [B'C'] ?

Le triangle ABC est rectangle en A. Par une translation, il devient le triangle A'B'C'. Un élève pense que A'B'C' n'est plus rectangle, car la figure a été déplacée. Que répondre ?

Un triangle MNP a MN = 6 cm, NP = 8 cm et MP = 9 cm. Un élève affirme qu'il est rectangle en N, car $6^2 + 8^2 = 10^2$ et 9 est proche de 10. Quelle est son erreur ?

Dans un triangle ABC rectangle en A, on a AB = 6 cm et BC = 10 cm, donc $\cos(\widehat{B}) = 0{,}6$ . Un élève affirme que $\cos(\widehat{C}) = 0{,}4$ , car $\widehat{B} +$ $\widehat{C} =$ $90^\circ$ et $1 - 0{,}6 = 0{,}4$ . Que répondre ?

Dans une frise, un motif sans axe de symétrie est reproduit une case sur deux par symétrie axiale. Un élève affirme que son image par symétrie axiale peut être obtenue, à partir du motif initial, par une simple translation. A-t-il raison ?

Par une translation, le point A a pour image A'. Un point B est tel que AB = 4 cm, et B' est son image par la même translation. Si AA' = 6 cm, quelle est la longueur BB' ?

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Dans un triangle ABC rectangle en A, un élève calcule cos⁡(B^)\cos(\widehat{B}) en prenant le quotient BCAB\frac{BC}{AB} et trouve 1312\frac{13}{12}. Quelle est son erreur ?

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont dans le rapport 2 : 7, le plus petit étant représenté par 2 parts et le plus grand par 7 parts. Quelle est la mesure de l'angle aigu le plus grand ?

Dans le triangle ABC, M appartient à [AB], N appartient à [AC] et (MN) est parallèle à (BC). Avec AM = 2 cm, AB = 5 cm et BC = 10 cm, un élève écrit MNBC=ABAM\frac{MN}{BC}=\frac{AB}{AM} et trouve MN = 25 cm. Quelle est son erreur ?

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Les triangles ABC et DEF sont égaux, leurs sommets se correspondant dans l'ordre des lettres (A et D, B et E, C et F). On sait que AB = 5 cm, BC = 6 cm et C^=70∘\widehat{C} = 70^\circ. Un élève écrit : DE = 6 cm et F^=70∘\widehat{F} = 70^\circ. Quelle est son erreur ?

Un triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 5 cm et AC = 12 cm. Son image A'B'C' par une translation est tracée. Quelle est la longueur de l'hypoténuse [B'C'] ?

Le triangle ABC est rectangle en A. Par une translation, il devient le triangle A'B'C'. Un élève pense que A'B'C' n'est plus rectangle, car la figure a été déplacée. Que répondre ?

Un triangle MNP a MN = 6 cm, NP = 8 cm et MP = 9 cm. Un élève affirme qu'il est rectangle en N, car 62+82=1026^2 + 8^2 = 10^2 et 9 est proche de 10. Quelle est son erreur ?

Dans un triangle ABC rectangle en A, on a AB = 6 cm et BC = 10 cm, donc cos⁡(B^)=0,6\cos(\widehat{B}) = 0{,}6. Un élève affirme que cos⁡(C^)=0,4\cos(\widehat{C}) = 0{,}4, car B^+\widehat{B} +C^=\widehat{C} =90∘90^\circ et 1−0,6=0,41 - 0{,}6 = 0{,}4. Que répondre ?

Dans une frise, un motif sans axe de symétrie est reproduit une case sur deux par symétrie axiale. Un élève affirme que son image par symétrie axiale peut être obtenue, à partir du motif initial, par une simple translation. A-t-il raison ?

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