Données : angles, fréquences, médianes

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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1. 1

   Léo affirme que les fréquences des trois catégories d'une série sont 0,3 ; 0,25 et 0,5. Que peut-on dire sans faire d'autres calculs ?

   Réponse B : Léo s'est trompé : la somme des fréquences doit être égale à 1, or ici elle vaut 1,05

   Les fréquences d'une série somment toujours à 1 : ici $0{,}3 + 0{,}25 + 0{,}5 =$$1{,}05$, donc l'une de ces valeurs est fausse.

2. 2

   Dans une série statistique, une catégorie de 9 données représente 25 % de l'effectif total. Quel est cet effectif total ?

   Réponse C : 36

   25 % correspond à la fréquence $0{,}25$. Comme l'effectif vaut fréquence $\times$ total, le total vaut $9 \div 0{,}25 = 36$.

3. 3

   Une série comporte 40 données et l'effectif d'une catégorie est 15. Quel est l'angle du secteur de cette catégorie dans un diagramme circulaire ?

   Réponse A : 135°

   Fréquence : $\frac{15}{40} = 0{,}375$ ; angle : $0{,}375 \times 360 = 135^\circ$.

4. 4

   Dans une série de 24 données, les effectifs des trois premières catégories sont 6, 9 et 3. Quelle est la fréquence de la quatrième catégorie ?

   Réponse B : 0,25

   Les trois premières catégories regroupent $6+9+3 = 18$ données ; la quatrième en a $24 - 18 = 6$, d'où une fréquence de $\frac{6}{24} = 0{,}25$.

5. 5

   Un tableau d'effectifs donne : valeur 8 (effectif 3), valeur 10 (effectif 3), valeur 12 (effectif 4), valeur 14 (effectif 2). Quelle est la médiane de la série ?

   Réponse B : 11

   Effectif total : $3+3+4+2 = 12$, les rangs centraux sont 6 et 7. Les effectifs cumulés (3 ; 6 ; 10 ; 12) donnent les valeurs 10 et 12, d'où $\frac{10+12}{2} = 11$.

6. 6

   Dans un diagramme en bâtons, les bâtons ont pour hauteurs 2, 3, 1, 2 et 1 pour les valeurs 4, 6, 8, 10 et 12. Quelle est la médiane de la série ?

   Réponse A : 6

   L'effectif total est $2+$$3+$$1+$$2+$$1 =$$9$ : la médiane est la donnée de rang $\frac{9+1}{2} = 5$, c'est-à-dire la valeur 6. Prendre le milieu des cinq valeurs distinctes (8) est une erreur.

7. 7

   Une série de 15 données est rangée dans l'ordre croissant et sa médiane est la 8e donnée. On supprime la plus petite donnée. Comment obtient-on la médiane de la nouvelle série ?

   Réponse D : C'est la moyenne des 7e et 8e données de la nouvelle série

   Il reste 14 données, un effectif pair : la médiane est la moyenne des données de rangs $\frac{14}{2} = 7$ et 8.

8. 8

   Pour la série 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 30, quelle affirmation est juste ?

   Réponse A : La moyenne vaut 8 et la médiane vaut 3

   Moyenne : $\frac{1+2+3+4+30}{5} =$$\frac{40}{5} =$$8$ ; médiane : 3. La valeur extrême 30 fait monter la moyenne, alors que la médiane reste peu sensible aux valeurs extrêmes.

9. 9

   Dans une série de 50 données, une catégorie représente 44 % de l'effectif total. Quel est son effectif ?

   Réponse C : 22

   44 % correspond à la fréquence $0{,}44$. L'effectif vaut $0{,}44 \times 50 = 22$ données.

10. 10

    Pour un club d'échecs de 36 adhérents répartis en catégories d'effectifs 5, 20, 9 et 2, un élève trace les secteurs de 50°, 200°, 90° et 40°. Quelle erreur a-t-il faite ?

    Réponse B : Le secteur de 40° est faux : la somme des angles doit être 360°, il devrait mesurer 20°

    $50 +$$200 +$$90 +$$40 =$$380$ : la somme dépasse 360°. Le dernier secteur doit mesurer $360 - 340 = 20^\circ$, ce qui correspond bien à l'effectif 2.

11. 11

    Dans un diagramme en bâtons, les bâtons ont pour hauteurs 3, 6, 2 et 1. Quelle est la fréquence de la valeur dont le bâton est le plus haut ?

    Réponse A : 0,5

    L'effectif total est $3+6+2+1 = 12$ ; la fréquence du plus haut bâton vaut $\frac{6}{12} = 0{,}5$, soit 50 %.

12. 12

    Parmi ces séries, laquelle a une médiane qui n'est pas l'une de ses valeurs ?

    Réponse D : 4 ; 6 ; 8 ; 10

    Pour 4 ; 6 ; 8 ; 10, la médiane vaut $\frac{6+8}{2} = 7$, valeur absente de la série. Dans les trois autres séries, la médiane est l'une des données.

13. 13

    La somme des fréquences d'une série vaut toujours 1. Pourquoi la somme des angles d'un diagramme circulaire de cette série vaut-elle alors 360° ?

    Réponse C : Parce que chaque angle est le produit de la fréquence par 360°, et $1 \times 360 = 360$

    L'angle d'un secteur est sa fréquence multipliée par 360°. En additionnant tous les secteurs, on obtient donc $1 \times 360 = 360^\circ$.

14. 14

    Quatre élèves ont obtenu 9 et deux élèves ont obtenu 15. Léo calcule $(9+15) \div 2 = 12$. Quelle est son erreur ?

    Réponse A : Il a oublié les effectifs : la moyenne est $\frac{4 \times 9 + 2 \times 15}{6} =$$11$

    La valeur 9 compte 4 fois et la valeur 15 deux fois : $\frac{4 \times 9 + 2 \times 15}{6} =$$\frac{66}{6} =$$11$.

15. 15

    Pour calculer l'angle d'un secteur, Léa multiplie une fréquence par 360° et obtient 432°. Que peut-on en conclure ?

    Réponse B : Elle s'est trompée : une fréquence est toujours inférieure ou égale à 1, donc un angle ne dépasse pas 360°

    Une fréquence vaut au plus 1, donc un secteur mesure au plus $1 \times 360 = 360^\circ$ : 432° est impossible, Léa a fait une erreur de calcul.

16. 16

    Les fréquences des catégories d'une série sont $\frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{4}$ ; $\frac{1}{8}$ et $\frac{1}{8}$. Quels angles faut-il tracer au rapporteur ?

    Réponse D : 180° ; 90° ; 45° ; 45°

    Chaque angle est la fréquence multipliée par 360° : $\frac{1}{2} \times 360 = 180$, $\frac{1}{4} \times 360 = 90$, $\frac{1}{8} \times 360 = 45$. La somme vaut bien 360°.

17. 17

    Un diagramme circulaire représente une série de 28 données. Un secteur mesure 180°. Combien de données représente-t-il ?

    Réponse B : 14

    Un secteur de 180° représente la moitié du disque, soit une fréquence de 0,5 : $0{,}5 \times 28 = 14$ données.

18. 18

    Une série comporte 11 données rangées dans l'ordre croissant. On ajoute une donnée supérieure à toutes les autres. Comment obtient-on la nouvelle médiane ?

    Réponse C : C'est la moyenne des 6e et 7e données de la nouvelle série

    La nouvelle série compte 12 données, un effectif pair : la médiane est la moyenne des données de rangs 6 et 7.