Preuves et calculs en géométrie plane

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

Une erreur dans ce corrigé ? Signaler une erreur

1. 1

   Dans chacun de deux triangles, un côté mesure 6 cm et les angles situés aux extrémités de ce côté mesurent 50° et 60° : ces deux triangles sont égaux, et leur troisième angle mesure 70°.

   Vrai

   Les angles 50° et 60° sont aux extrémités du côté de 6 cm : c'est le cas angle-côté-angle. Le troisième angle vaut $180^\circ-50^\circ-60^\circ=$$70^\circ$.

2. 2

   Le triangle DEF, avec DE = 20 cm, DF = 48 cm et EF = 52 cm, est rectangle en D : son hypoténuse est le côté [DE].

   Faux

   Le triangle est bien rectangle en D : $20^2+48^2=$$400+2304=$$2704=$$52^2$. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit D, donc le segment [EF], de 52 cm.

3. 3

   Dans un triangle ABC rectangle en A, avec BC = 10 cm et $\cos(\widehat{B})=0{,}6$, on a AB = 6 cm.

   Vrai

   Le côté adjacent à $\widehat{B}$ est AB : $AB=$$BC\times$$\cos(\widehat{B})=$$10\times0{,}6=$$6$ cm.

4. 4

   Dans un triangle ABC rectangle en A, avec AB = 15 cm, BC = 39 cm et AC = 36 cm, on a $\cos(\widehat{B})=$$\frac{36}{39}$.

   Faux

   Le côté adjacent à $\widehat{B}$ est AB, et non AC : $\cos(\widehat{B})=$$\frac{AB}{BC}=$$\frac{15}{39}$.

5. 5

   Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 20 cm et AC = 48 cm. Son image A'B'C' par une translation est rectangle en A', et le côté [B'C'] mesure 52 cm.

   Vrai

   Pythagore donne $BC^2=$$20^2+48^2=$$2704$, donc BC = 52 cm. La translation conserve longueurs et angles : l'image reste rectangle en A' et $B'C'=BC=52$ cm.

6. 6

   Pour construire le triangle ABC avec AB = 6 cm, $\widehat{A}=50^\circ$ et AC = 8 cm, on trace [AB], puis on place C à 8 cm du point B.

   Faux

   Il faut tracer depuis A la demi-droite formant 50° avec [AB], puis placer C sur cette demi-droite à 8 cm de A. Le placer à 8 cm de B n'impose pas AC = 8 cm.

7. 7

   Un parallélogramme ABCD a pour côtés AB = 9 cm et BC = 5 cm. Son image par une translation a un périmètre de 28 cm.

   Vrai

   Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux : le périmètre vaut $2\times(9+5)=28$ cm. La translation conserve les longueurs, donc l'image a le même périmètre.

8. 8

   Dans un parallélogramme ABCD dont les diagonales se coupent en O, avec AC = 10 cm et BD = 6 cm, on a OA = 6 cm.

   Faux

   Les diagonales se coupent en leur milieu : $OA=$$\frac{AC}{2}=$$\frac{10}{2}=$$5$ cm. La longueur de 6 cm est celle de BD, pas de OA.

9. 9

   Dans un triangle ABC rectangle en A, avec AB = 12 cm et AC = 16 cm, on place M sur [AB] et N sur [AC] avec AM = 9 cm. Si (MN) est parallèle à (BC), alors MN = 15 cm.

   Vrai

   Pythagore : $BC=$$\sqrt{12^2+16^2}=$$\sqrt{400}=$$20$ cm. Thalès : $\frac{MN}{BC}=$$\frac{AM}{AB}=$$\frac{9}{12}$, donc $MN=$$20\times\frac{9}{12}=$$15$ cm.

10. 10

    Un triangle de côtés 7 cm, 24 cm et 25 cm n'est pas rectangle, car 7 + 24 = 31 est différent de 25.

    Faux

    On compare les carrés, pas les longueurs : $7^2+24^2=$$49+576=$$625=$$25^2$. Le triangle est donc rectangle, son hypoténuse étant le côté de 25 cm.

11. 11

    Dans un triangle ABC rectangle en A, si l'hypoténuse BC augmente alors que AB reste égal à 6 cm, le cosinus de $\widehat{B}$ diminue.

    Vrai

    $\cos(\widehat{B})=$$\frac{AB}{BC}$ : AB reste 6 cm, et BC, toujours plus grand que AB, augmente. La fraction diminue, donc le cosinus aussi.

12. 12

    Un triangle ABC a un angle de 50° en B et un angle de 60° en C. Son image A'B'C' par une translation a un angle de 70° en A'.

    Vrai

    La somme des angles d'un triangle vaut 180° : $\widehat{A}=$$180^\circ-50^\circ-60^\circ=$$70^\circ$. La translation conserve les angles, donc $\widehat{A'}=70^\circ$.

13. 13

    Dans un triangle ABC rectangle en A, avec BC = 20 cm et AB = 12 cm, on a AC = 8 cm, car $20-12=8$.

    Faux

    $AC^2=$$BC^2-AB^2=$$400-144=$$256$, donc $AC=16$ cm : on soustrait les carrés des côtés, pas les longueurs.