Rapports d'agrandissement et glissements

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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1. 1

   Dans laquelle de ces situations obtient-on une réduction de la figure initiale ?

   Réponse D : Un segment de 8 cm devient un segment de 6 cm

   Le rapport vaut $6 \div 8 = \frac{3}{4}$, compris entre 0 et 1 : c'est une réduction. Les trois autres rapports valent 1,1 ; 1 et 3.

2. 2

   L'aire d'une figure a été multipliée par 16 après un agrandissement. Quel est le rapport de cet agrandissement ?

   Réponse B : 4

   Les aires sont multipliées par $k^2$ : donc $k^2 = 16$ et $k = 4$, car $4 \times 4 = 16$.

3. 3

   Léo agrandit un carré : son aire passe de 9 cm² à 81 cm². Il affirme : « J'ai donc multiplié le côté par 9. » Que pensez-vous de son raisonnement ?

   Réponse C : L'aire a été multipliée par 9, donc le côté a été multiplié par 3

   Les aires sont multipliées par $k^2$ : $k^2 = 9$, donc $k = 3$. Le côté est passé de 3 cm à 9 cm.

4. 4

   Un pavé droit de dimensions 12 cm, 6 cm et 4 cm est réduit au tiers. Que devient son arête la plus longue, et par quel nombre son volume est-il multiplié ?

   Réponse D : Elle devient 4 cm, et le volume est multiplié par $\frac{1}{27}$

   Réduit au tiers : les longueurs sont multipliées par $\frac{1}{3}$ ($12 \div 3 = 4$ cm) et les volumes par $\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$.

5. 5

   Après un agrandissement, le volume d'un solide a été multiplié par 27. Quel est le rapport de cet agrandissement ?

   Réponse D : 3

   Les volumes sont multipliés par $k^3$ : $3 \times 3 \times 3 = 27$, donc $k = 3$.

6. 6

   Lors d'un agrandissement, un segment de 4 cm devient un segment de 10 cm. Un autre segment mesure 6 cm sur la figure initiale : quelle est sa longueur sur la figure agrandie ?

   Réponse B : 15 cm

   Le rapport vaut $10 \div 4 = 2{,}5$ ; le second segment mesure donc $6 \times 2{,}5 = 15$ cm.

7. 7

   Une figure est d'abord réduite de rapport $\frac{1}{2}$, puis son image est agrandie de rapport 3. Que peut-on dire de la figure finale ?

   Réponse C : C'est un agrandissement de rapport $1{,}5$ de la figure initiale

   Le rapport global vaut $\frac{1}{2} \times 3 =$$\frac{3}{2} =$$1{,}5$, supérieur à 1 : la figure finale est un agrandissement de la figure initiale.

8. 8

   Une figure dessinée sur un quadrillage est reproduite sur un quadrillage dont les cases ont des côtés deux fois plus longs. Par quel nombre l'aire de la figure est-elle multipliée ?

   Réponse A : 4

   Des cases deux fois plus grandes donnent un agrandissement de rapport 2 : les aires sont donc multipliées par $2^2 = 4$.

9. 9

   Un trapèze possède exactement un couple de côtés parallèles. On le réduit de rapport $\frac{1}{4}$. Combien de couples de côtés parallèles possède la figure obtenue ?

   Réponse B : Un : le parallélisme est conservé

   Une réduction conserve le parallélisme : les côtés parallèles restent parallèles, la figure obtenue a toujours un seul couple de côtés parallèles.

10. 10

    Une figure est agrandie de rapport 10, puis la figure obtenue est réduite de rapport $\frac{1}{5}$. Que peut-on affirmer de la figure finale ?

    Réponse C : Ses angles sont les mêmes que ceux de la figure initiale

    Agrandissements et réductions conservent les angles, quel que soit le rapport ; les longueurs, elles, sont multipliées par $10 \times \frac{1}{5} = 2$.

11. 11

    Un carré a un périmètre de 20 cm. On le réduit de rapport $\frac{1}{2}$. Quelle est l'aire du carré réduit ?

    Réponse D : 6,25 cm²

    Côté initial : $20 \div 4 = 5$ cm ; côté réduit : $2{,}5$ cm ; aire : $2{,}5 \times 2{,}5 =$$6{,}25~\text{cm}^2$.

12. 12

    Par une même translation, les points B et D ont pour images B' et D'. Quelle est toujours la nature du quadrilatère BDD'B' ?

    Réponse B : Un parallélogramme

    Les côtés opposés [BD] et [B'D'] ont même longueur et sont parallèles : BDD'B' a deux côtés opposés parallèles et égaux, c'est donc un parallélogramme. Un losange ou un rectangle n'est obtenu que dans des cas particuliers.

13. 13

    Pourquoi l'image d'une droite par une translation garde-t-elle la même direction que la droite de départ ?

    Réponse B : Parce que la translation conserve la direction de la droite

    Une translation conserve la direction d'une droite : son image est parallèle à la droite initiale, ou confondue avec elle.

14. 14

    Les points A, B, C sont déplacés vers A', B', C' : les segments [AA'], [BB'] et [CC'] sont parallèles, de même sens, et mesurent tous 2,5 cm. Que peut-on en déduire ?

    Réponse B : A', B' et C' sont les images de A, B et C par une même translation

    Même direction, même sens et même distance pour les trois points : c'est exactement une même translation appliquée aux trois points.

15. 15

    La translation t transforme A en B et la translation t' transforme B en A. On applique t à une figure, puis t' à la figure obtenue. Où se trouve la figure finale ?

    Réponse B : Superposée à la figure initiale

    Le glissement de t' compense exactement celui de t : chaque point revient à sa position de départ, la figure finale est superposée à l'initiale.

16. 16

    Un cercle de rayon 3 cm est translaté, puis l'image obtenue est agrandie de rapport 2. Quel est le rayon du cercle final ?

    Réponse A : 6 cm

    La translation conserve le rayon (3 cm) ; l'agrandissement multiplie ensuite les longueurs par 2 : $3 \times 2 = 6$ cm.

17. 17

    Un polygone a un périmètre de 24 cm et une aire de 36 cm². Il est translaté, puis son image est réduite de rapport $\frac{1}{2}$. Quels sont le périmètre et l'aire de la figure finale ?

    Réponse A : 12 cm et 9 cm²

    La translation ne change rien ; la réduction multiplie le périmètre par $\frac{1}{2}$ et l'aire par $\frac{1}{4}$ : 12 cm et 9 cm².

18. 18

    Un élève construit l'agrandissement de rapport 3 d'un rectangle : il multiplie la longueur par 3, mais la largeur par 2. Qu'est-ce qui ne va pas dans sa construction ?

    Réponse B : Toutes les longueurs doivent être multipliées par le même rapport 3, sinon la figure obtenue change de forme

    Dans un agrandissement de rapport k, toutes les longueurs sont multipliées par le même k : la figure obtenue ici a changé de forme.