Représenter l'espace : cas concrets (4e)

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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1. 1

   Un pavé droit mesure 6 cm de long, 4 cm de large et 2 cm de haut. Son origine est un sommet O, et ses axes portent les trois arêtes issues de O, l'axe vertical portant l'arête de 2 cm. Le point M est le milieu de cette arête verticale. Quelles sont les coordonnées de M ?

   Réponse D : $(0 ; 0 ; 1)$

   L'arête verticale issue de O va de l'altitude 0 à l'altitude 2 : son milieu est à l'altitude $2 \div 2 = 1$, sans décalage horizontal.

2. 2

   Un pavé droit mesure 7 cm, 3 cm et 4 cm. L'origine est un sommet O et les axes portent les trois arêtes issues de O : l'axe des abscisses celle de 7 cm, l'axe vertical celle de 4 cm. Quelles sont les coordonnées du sommet à la verticale de l'extrémité de l'arête de 7 cm issue de O ?

   Réponse B : $(7 ; 0 ; 4)$

   Le point au bout de l'arête de 7 cm est $(7 ; 0 ; 0)$ ; le sommet situé au-dessus, à l'altitude de l'arête verticale de 4 cm, a pour coordonnées $(7 ; 0 ; 4)$.

3. 3

   Pour placer le point $(2 ; 5 ; 7)$ à partir de l'origine, un élève avance de 7 unités sur l'axe des abscisses, puis de 5 unités sur l'axe des ordonnées, puis monte de 2 unités en altitude. Quelle est son erreur ?

   Réponse C : Il inverse l'abscisse et l'altitude : il faut avancer de 2 unités sur l'axe des abscisses et monter de 7 unités.

   Le point demandé a 2 en abscisse et 7 en altitude : l'élève a placé 7 sur le premier axe et 2 en hauteur, à l'inverse des valeurs du point.

4. 4

   Le point A a pour coordonnées $(2 ; 6 ; 7)$ et le point B a pour coordonnées $(2 ; 6 ; 3)$. Quel est l'écart en altitude entre A et B ?

   Réponse A : 4 unités

   A et B ont même abscisse et même ordonnée : ils sont à la verticale l'un de l'autre. L'écart d'altitude vaut $7 - 3 = 4$ unités.

5. 5

   Un élève affirme que le point P de coordonnées $(2 ; 5 ; 3)$ et le point Q de coordonnées $(5 ; 2 ; 3)$ sont confondus, car ils ont les mêmes trois nombres. Quelle analyse est juste ?

   Réponse D : Ils sont distincts : l'ordre compte, et l'abscisse de P (2) n'est pas celle de Q (5).

   Dans $(2 ; 5 ; 3)$ l'abscisse est 2 et l'ordonnée 5 ; dans $(5 ; 2 ; 3)$, c'est l'inverse. Les coordonnées se lisent dans l'ordre : ce sont deux points différents.

6. 6

   Un pavé droit mesure 6 cm, 4 cm et 2 cm. On le dessine en perspective cavalière de coefficient de réduction $0{,}7$, sa profondeur étant la dimension de 6 cm. Quelle est la longueur totale des arêtes fuyantes sur le dessin ?

   Réponse A : 16,8 cm

   Le pavé a 4 arêtes fuyantes de 6 cm : $4 \times 6 \times 0{,}7 = 16{,}8$ cm sur le dessin.

7. 7

   Sur un dessin en perspective cavalière, une arête fuyante paraît plus courte qu'une arête de face de même longueur réelle. Pourquoi ?

   Réponse B : Parce que sa longueur est multipliée par un coefficient de réduction, souvent $0{,}5$ ou $0{,}7$.

   Les arêtes fuyantes sont réduites par un coefficient (souvent $0{,}5$ ou $0{,}7$), alors que les arêtes de face gardent leur vraie longueur.

8. 8

   Un cube d'arête 4 cm est dessiné en perspective cavalière de coefficient de réduction $0{,}5$. Combien de segments du dessin mesurent 4 cm ?

   Réponse B : 8 segments

   Un cube a 4 arêtes fuyantes de 4 cm : sur le dessin, $4 \times 0{,}5 = 2$ cm. Les 8 autres arêtes restent à 4 cm.

9. 9

   Une pyramide possède 12 arêtes en tout. Quelle est la forme de sa base ?

   Réponse B : Un hexagone

   Une pyramide a autant d'arêtes latérales que de côtés à sa base : $12 \div 2 = 6$ côtés, donc une base hexagonale.

10. 10

    Une pyramide régulière à base carrée a une base de côté 4 cm et des arêtes latérales de 6 cm. On en dessine le patron : un carré de 4 cm de côté, auquel on accole quatre triangles par leurs côtés. Combien de segments du patron mesurent 6 cm ?

    Réponse D : 8 segments

    Chaque triangle latéral a deux arêtes de 6 cm et un côté de 4 cm : quatre triangles donnent $4 \times 2 = 8$ segments de 6 cm.

11. 11

    Dans une pyramide régulière, pourquoi l'arête latérale est-elle plus longue que la hauteur ?

    Réponse C : Parce que l'arête latérale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont la hauteur est un côté.

    La hauteur est perpendiculaire à la base : elle forme avec l'arête latérale un triangle rectangle où l'arête est le côté le plus long.

12. 12

    Un élève construit le patron d'une pyramide à base carrée : il trace le carré de base, accole deux triangles au même côté du carré et laisse un autre côté sans triangle. Pourquoi ce patron ne reconstitue-t-il pas la pyramide ?

    Réponse B : Chaque côté de la base doit recevoir exactement une face latérale : il manque une face, et une autre est en double.

    Dans le patron d'une pyramide, chaque côté de la base porte exactement une face latérale : sans trou ni chevauchement, le patron se replie en pyramide.

13. 13

    Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit de 6 cm et 8 cm. On le fait tourner complètement autour du côté de 8 cm. Quelle est la génératrice du solide obtenu ?

    Réponse A : 10 cm

    Le côté de 8 cm sert d'axe (hauteur), celui de 6 cm devient le rayon ; la génératrice est l'hypoténuse : $6^2 + 8^2 = 100$, donc $\sqrt{100} = 10$ cm.

14. 14

    Le patron d'un cône de révolution est constitué d'un disque de rayon 3 cm et d'un secteur dont l'angle mesure $90^\circ$. Quelle est la génératrice du cône ?

    Réponse D : 12 cm

    Le disque de base a un périmètre de $2\pi \times 3=6\pi$ cm. Un secteur de $90^\circ$ est un quart de disque : son arc vaut $\frac{2\pi\ell}{4}$. En égalant cet arc à $6\pi$, on trouve $\ell=12$ cm.

15. 15

    Un cône de révolution a une génératrice de 17 cm et un rayon de base de 8 cm. Quelle est sa hauteur ?

    Réponse C : 15 cm

    Dans le triangle rectangle formé par la hauteur, le rayon et la génératrice : $h^2 =$$17^2 - 8^2 =$$289 - 64 =$$225$, donc $h = 15$ cm.

16. 16

    Deux cônes de révolution ont la même génératrice, 13 cm. Le premier a un rayon de base de 5 cm, le second un rayon de 12 cm. Lequel est le plus haut ?

    Réponse A : Le premier, dont la hauteur est 12 cm

    Pour $r = 5$ cm : $h^2 =$$169 - 25 =$$144$, donc $h = 12$ cm. Pour $r = 12$ cm : $h^2 =$$169 - 144 =$$25$, donc $h = 5$ cm.

17. 17

    Le secteur du patron d'un cône de révolution est un demi-disque. Que peut-on dire du rayon de la base par rapport à la génératrice ?

    Réponse C : La génératrice est le double du rayon de la base.

    Un demi-disque a un angle de $180^\circ$ : $\frac{r}{\ell} = \frac{1}{2}$, donc la génératrice vaut $2r$.