Divisibilité et nombres premiers (3e)

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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1. 1

   Pourquoi le nombre 1 n'est-il pas un nombre premier ?

   Réponse C : Il n'a qu'un seul diviseur positif : lui-même

   Un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs, 1 et lui-même. Le nombre 1 n'en a qu'un : lui-même.

2. 2

   Combien de nombres premiers pairs existe-t-il ?

   Réponse A : Un seul : le nombre 2

   Le nombre 2 est premier, mais tout autre nombre pair est divisible par 2 et par lui-même : il a plus de deux diviseurs.

3. 3

   Lequel de ces nombres n'est pas premier ?

   Réponse D : 51

   $51 = 3 \times 17$ : 51 a d'autres diviseurs que 1 et lui-même, il n'est donc pas premier.

4. 4

   Quelle est la décomposition de 306 en produit de facteurs premiers ?

   Réponse B : $2 \times 3^2 \times 17$

   On divise 306 par 2, puis 153 par 3 et 51 par 3 : $306 = 2 \times 3^2 \times 17$, où 17 est premier.

5. 5

   Lequel de ces nombres est un diviseur de 12 ?

   Réponse C : 4

   $12 = 4 \times 3$, donc 4 divise 12. Le nombre 24 est au contraire un multiple de 12.

6. 6

   Lequel de ces nombres est divisible par 6 ?

   Réponse A : 1 254

   1 254 est pair, et la somme de ses chiffres (12) est divisible par 3 : il est donc divisible par 6.

7. 7

   Lequel de ces nombres est divisible par 9 ?

   Réponse D : 3 618

   La somme des chiffres de 3 618 vaut $3 + 6 + 1 + 8 = 18$, multiple de 9 : $3\,618 = 9 \times 402$.

8. 8

   Quelle fraction est irréductible ?

   Réponse B : $\frac{13}{27}$

   13 est premier et ne divise pas 27 : $\frac{13}{27}$ ne se simplifie pas. Les trois autres ont un diviseur commun supérieur à 1.

9. 9

   Quelle est la forme irréductible de $\frac{124}{2\,220}$ ?

   Réponse A : $\frac{31}{555}$

   $124 = 2^2 \times 31$ et $2\,220 =$$2^2 \times 3 \times 5 \times 37$ : on supprime le facteur commun $2^2$.

10. 10

    Un élève écrit $90 = 2 \times 5 \times 3 \times 3$ pour décomposer 90 en facteurs premiers. Que peut-on dire de sa réponse ?

    Réponse C : Elle est correcte : la décomposition est unique, à l'ordre des facteurs près

    La décomposition en facteurs premiers d'un nombre est unique, à l'ordre des facteurs près : celle de l'élève est donc correcte.

11. 11

    Quel est le plus petit nombre premier qui divise 91 ?

    Réponse B : 7

    91 est impair, non divisible par 3 ni par 5, et $91 = 7 \times 13$ : le plus petit diviseur premier est donc 7.

12. 12

    Lequel de ces nombres, écrits en produit de facteurs premiers, est divisible par 7 ?

    Réponse D : $2^2 \times 3 \times 5 \times 7$

    Un entier est divisible par un nombre premier qui figure dans sa décomposition : seule l'écriture contenant le facteur 7 convient.

13. 13

    Dans la division euclidienne de 83 par 6, quel est le reste ?

    Réponse A : 5

    $83 = 6 \times 13 + 5$ avec $0 \leq 5 < 6$ : le reste est 5.

14. 14

    Au départ, deux dents sont en contact entre une roue de 30 dents et une roue de 45 dents. Après combien de dents passées au point de contact sur chaque roue, ces deux mêmes dents se retrouvent-elles en contact ?

    Réponse C : 90

    90 est le plus petit multiple commun de 30 et 45 : 1 350, leur produit, ne l'est pas.

15. 15

    Une roue de 14 dents engrène une roue de 21 dents. Lorsque 42 dents de la roue de 14 dents sont passées au point de contact, combien de tours fait cette roue ?

    Réponse B : 3 tours

    $42 \div 14 = 3$ : la roue de 14 dents fait 3 tours, celle de 21 dents en fait 2.

16. 16

    Deux ampoules s'allument périodiquement : la première toutes les 153 s, la seconde toutes les 187 s. Elles s'allument ensemble à l'instant 0. Au bout de combien de temps s'allument-elles à nouveau ensemble ?

    Réponse D : 28 min 3 s

    $153 = 3^2 \times 17$ et $187 = 11 \times 17$ : le plus petit multiple commun vaut $3^2 \times 11 \times 17 =$$1\,683$ s, soit 28 min 3 s.

17. 17

    Quelle est la nature de la somme de deux nombres impairs ?

    Réponse A : Toujours paire

    Un nombre impair n'est pas divisible par 2 ; la somme de deux impairs est toujours paire, comme $3 + 5 = 8$.

18. 18

    Lequel de ces nombres est un diviseur commun de 36 et de 48 ?

    Réponse C : 6

    $36 = 6 \times 6$ et $48 = 6 \times 8$ : 6 divise les deux nombres, donc c'est un diviseur commun.