Divisibilité et premiers : raisonnement

QCM · 15 questions Difficulté : Difficile · Mathématiques · Publié le 15 oct. 2026

Chapitre : Divisibilité et nombres premiers (3e) ›

Programme de référence : Attendus de fin d'année en mathématiques de 3e, ressource Éduscol (programme du BO n° 31 du 30 juillet 2020)

Ce chapitre de 3e porte sur les nombres et le calcul : décomposer un entier en produit de facteurs premiers, simplifier une fraction jusqu'à la rendre irréductible, et mobiliser les critères de divisibilité, notamment par 2, 3, 9 ou 10. La division euclidienne revient aussi, avec ses règles sur le quotient et le reste. Côté problèmes, des phares, des alarmes et des engrenages cherchent leur prochaine coïncidence, tandis que des fraises et des framboises doivent se répartir dans des paniers identiques. Il faut décomposer, comparer des décompositions, vérifier un raisonnement ou débusquer l'erreur d'un élève, sans calculatrice. Une seule réponse par question est exacte ; la correction détaille le raisonnement attendu.

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Divisibilité et premiers : raisonnement

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15 questions

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Question 1 / 15

Un élève affirme : « 124 contient $2^2$ dans sa décomposition en facteurs premiers, donc il est divisible par 8. » Qu'a-t-il oublié ?

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Question 2 / 15

Après avoir décomposé, Léa écrit $\frac{126}{140} =$ $\frac{2 \times 3^2 \times 7}{2^2 \times 5 \times 7}$ . Quelle forme irréductible obtient-elle ?

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Question 3 / 15

Pourquoi 16 et 27 n'ont-ils qu'un seul diviseur commun, à savoir 1 ?

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Question 4 / 15

Un élève affirme : « 123 est divisible par 3, donc il est divisible par 6. » Pourquoi a-t-il tort ?

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Question 5 / 15

Dans la division euclidienne de $n$ par 9, le quotient est 30 et le reste est 4. Quel est le reste de la division de $n + 5$ par 9 ?

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Question 6 / 15

Un phare clignote toutes les 45 secondes, un autre toutes les 60 secondes, et ils viennent de clignoter ensemble. Après combien de temps clignoteront-ils à nouveau ensemble ?

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Question 7 / 15

Deux roues d'engrenage ont 24 et 36 dents, avec une dent de chaque roue en contact au départ. Pourquoi les mêmes dents se retrouvent-elles au contact après le passage de 72 dents sur chaque roue, et non après 864, leur produit ?

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Question 8 / 15

Un élève décompose 165 et écrit $165 = 3 \times 5 \times 11$ . Peut-il exister une autre décomposition de 165 en produit de facteurs premiers ?

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Question 9 / 15

Pourquoi la fraction $\frac{15}{28}$ est-elle irréductible ?

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Question 10 / 15

On répartit 96 fraises et 72 framboises dans des paniers identiques : même nombre de fraises et même nombre de framboises dans chaque panier, et tout est utilisé. Quel est le plus grand nombre de paniers possible ?

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Question 11 / 15

Un entier est divisible par 90 lorsqu'il est divisible à la fois par 10 et par 9. Lequel de ces nombres est divisible par 90 ?

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Question 12 / 15

Pour la division euclidienne de 100 par 7, un élève écrit : « quotient 13, reste 9 ». Quelle est son erreur ?

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Question 13 / 15

Un élève écrit : « Les nombres premiers de 2 à 11 sont 2, 3, 5, 7, 9, 11. » Quelle est son erreur ?

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Question 14 / 15

Deux alarmes retentissent toutes les 120 secondes et toutes les 150 secondes, en même temps à l'instant 0. Après combien de temps retentissent-elles à nouveau ensemble ?

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Question 15 / 15

Un nombre $n$ est à la fois multiple de 6 et diviseur de 24, avec $6 < n < 24$ . Que vaut $n$ ?

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Astuce : touches 1–4 ou A–D pour répondre.

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Réponses et explications

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Un élève affirme : « 124 contient $2^2$ dans sa décomposition en facteurs premiers, donc il est divisible par 8. » Qu'a-t-il oublié ?

Réponse A : Il faudrait $2^3$ dans la décomposition de 124

$124 = 2^2 \times 31$ : il n'y a que deux facteurs 2 ; pour être divisible par 8, il faudrait $2^3$ dans la décomposition.
Après avoir décomposé, Léa écrit $\frac{126}{140} =$ $\frac{2 \times 3^2 \times 7}{2^2 \times 5 \times 7}$ . Quelle forme irréductible obtient-elle ?

Réponse B : $\frac{9}{10}$

On supprime les facteurs communs 2 et 7 : il reste $\frac{3^2}{2 \times 5} = \frac{9}{10}$ , et 9 et 10 n'ont pas d'autre diviseur commun que 1.
Pourquoi 16 et 27 n'ont-ils qu'un seul diviseur commun, à savoir 1 ?

Réponse C : Parce que $16 = 2^4$ et $27 = 3^3$ n'ont aucun facteur premier commun

$16 = 2^4$ et $27 = 3^3$ : aucun facteur premier en commun, donc aucun diviseur commun autre que 1.
Un élève affirme : « 123 est divisible par 3, donc il est divisible par 6. » Pourquoi a-t-il tort ?

Réponse C : Il faut aussi que le nombre soit divisible par 2, or 123 est impair

Divisible par 6 exige de l'être par 2 et par 3 : la somme des chiffres de 123 vaut 6, mais 123 est impair, donc non divisible par 2.
Dans la division euclidienne de $n$ par 9, le quotient est 30 et le reste est 4. Quel est le reste de la division de $n + 5$ par 9 ?

Réponse D : 0

$n = 9 \times 30 + 4$ , donc $n + 5 =$ $9 \times 30 + 9 =$ $9 \times 31$ : le reste est nul. Un reste ne peut d'ailleurs jamais valoir 9.
Un phare clignote toutes les 45 secondes, un autre toutes les 60 secondes, et ils viennent de clignoter ensemble. Après combien de temps clignoteront-ils à nouveau ensemble ?

Réponse B : 180 secondes

$45 = 3^2 \times 5$ et $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ : le plus petit multiple commun est $2^2 \times 3^2 \times 5 = 180$ s, soit 3 min.
Deux roues d'engrenage ont 24 et 36 dents, avec une dent de chaque roue en contact au départ. Pourquoi les mêmes dents se retrouvent-elles au contact après le passage de 72 dents sur chaque roue, et non après 864, leur produit ?

Réponse A : Parce que 72 est le plus petit multiple commun de 24 et de 36

864 est aussi un multiple commun, mais pas le premier : $24 = 2^3 \times 3$ et $36 = 2^2 \times 3^2$ donnent $2^3 \times 3^2 = 72$ , la première coïncidence.
Un élève décompose 165 et écrit $165 = 3 \times 5 \times 11$ . Peut-il exister une autre décomposition de 165 en produit de facteurs premiers ?

Réponse B : Non : la décomposition est unique, à l'ordre des facteurs près

$11 \times 15$ n'est pas une décomposition en facteurs premiers, car 15 n'est pas premier ; seul l'ordre des facteurs peut changer.
Pourquoi la fraction $\frac{15}{28}$ est-elle irréductible ?

Réponse A : Parce que $15 = 3 \times 5$ et $28 = 2^2 \times 7$ n'ont aucun facteur premier commun

$15 = 3 \times 5$ et $28 = 2^2 \times 7$ : aucun facteur premier commun, donc pas d'autre diviseur commun que 1.
On répartit 96 fraises et 72 framboises dans des paniers identiques : même nombre de fraises et même nombre de framboises dans chaque panier, et tout est utilisé. Quel est le plus grand nombre de paniers possible ?

Réponse C : 24

$96 = 2^5 \times 3$ et $72 = 2^3 \times 3^2$ : le plus grand diviseur commun est $2^3 \times 3 = 24$ , soit 4 fraises et 3 framboises par panier.
Un entier est divisible par 90 lorsqu'il est divisible à la fois par 10 et par 9. Lequel de ces nombres est divisible par 90 ?

Réponse C : 810

810 se termine par 0 (divisible par 10) et $8 + 1 + 0 = 9$ est divisible par 9 : c'est le seul à vérifier les deux critères.
Pour la division euclidienne de 100 par 7, un élève écrit : « quotient 13, reste 9 ». Quelle est son erreur ?

Réponse D : Le reste doit être strictement inférieur au diviseur : le bon couple est 14 et 2

Le reste doit être strictement inférieur au diviseur : $100 = 7 \times 14 + 2$ . Le reste 2 étant non nul, 100 n'est pas divisible par 7.
Un élève écrit : « Les nombres premiers de 2 à 11 sont 2, 3, 5, 7, 9, 11. » Quelle est son erreur ?

Réponse C : 9 ne doit pas figurer, car $9 = 3 \times 3$ a trois diviseurs, pas deux

$9 = 3 \times 3$ possède trois diviseurs (1, 3, 9) : c'est un nombre composé. 2, 3, 5, 7 et 11 sont bien premiers.
Deux alarmes retentissent toutes les 120 secondes et toutes les 150 secondes, en même temps à l'instant 0. Après combien de temps retentissent-elles à nouveau ensemble ?

Réponse B : 600 secondes

$120 = 2^3 \times 3 \times 5$ et $150 = 2 \times 3 \times 5^2$ : le plus petit multiple commun est $2^3 \times 3 \times 5^2 = 600$ s, soit 10 min.
Un nombre $n$ est à la fois multiple de 6 et diviseur de 24, avec $6 < n < 24$ . Que vaut $n$ ?

Réponse D : 12

Les multiples de 6 strictement compris entre 6 et 24 sont 12 et 18 ; seul 12 divise 24, car $24 = 12 \times 2$ .

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QCM · 15 questions · niveau difficile

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Questions

1
Un élève affirme : « 124 contient $2^2$ dans sa décomposition en facteurs premiers, donc il est divisible par 8. » Qu'a-t-il oublié ?
- AIl faudrait $2^3$ dans la décomposition de 124
- BIl faudrait que 31 soit un nombre pair
- C8 ne divise aucun nombre se terminant par 4
- D124 devrait aussi être divisible par 16
2
Après avoir décomposé, Léa écrit $\frac{126}{140} =$ $\frac{2 \times 3^2 \times 7}{2^2 \times 5 \times 7}$ . Quelle forme irréductible obtient-elle ?
- A $\frac{3}{10}$
- B $\frac{9}{10}$
- C $\frac{18}{20}$
- D $\frac{9}{14}$
3
Pourquoi 16 et 27 n'ont-ils qu'un seul diviseur commun, à savoir 1 ?
- AParce que 16 et 27 sont tous les deux des nombres premiers
- BParce que 27 est impair, contrairement à 16, qui est pair
- CParce que $16 = 2^4$ et $27 = 3^3$ n'ont aucun facteur premier commun
- DParce que 16 est pair et 27 impair, ils ne peuvent avoir d'autre diviseur commun que 1
4
Un élève affirme : « 123 est divisible par 3, donc il est divisible par 6. » Pourquoi a-t-il tort ?
- A6 ne divise aucun nombre à trois chiffres
- BIl faudrait aussi que le nombre soit divisible par 5
- CIl faut aussi que le nombre soit divisible par 2, or 123 est impair
- D123 est divisible par 9, donc pas par 6
5
Dans la division euclidienne de $n$ par 9, le quotient est 30 et le reste est 4. Quel est le reste de la division de $n + 5$ par 9 ?
- A4
- B5
- C9
- D0
6
Un phare clignote toutes les 45 secondes, un autre toutes les 60 secondes, et ils viennent de clignoter ensemble. Après combien de temps clignoteront-ils à nouveau ensemble ?
- A105 secondes
- B180 secondes
- C2 700 secondes
- D15 secondes
7
Deux roues d'engrenage ont 24 et 36 dents, avec une dent de chaque roue en contact au départ. Pourquoi les mêmes dents se retrouvent-elles au contact après le passage de 72 dents sur chaque roue, et non après 864, leur produit ?
- AParce que 72 est le plus petit multiple commun de 24 et de 36
- BParce que 864 n'est pas un multiple de 36
- CParce qu'une roue ne peut pas faire plus de trois tours
- DParce que 72 est le seul diviseur commun de 24 et de 36
8
Un élève décompose 165 et écrit $165 = 3 \times 5 \times 11$ . Peut-il exister une autre décomposition de 165 en produit de facteurs premiers ?
- AOui : $165 = 11 \times 15$ en est une autre
- BNon : la décomposition est unique, à l'ordre des facteurs près
- COui, en remplaçant un facteur par un autre plus grand
- DNon, car 165 est un nombre premier
9
Pourquoi la fraction $\frac{15}{28}$ est-elle irréductible ?
- AParce que $15 = 3 \times 5$ et $28 = 2^2 \times 7$ n'ont aucun facteur premier commun
- BParce que 15 et 28 sont deux nombres premiers, donc ils n'ont que 1 comme diviseur commun
- CParce que 15 est impair, donc il ne partage aucun diviseur pair avec 28
- DParce que 28 est pair et 15 impair, ils n'ont aucun diviseur commun supérieur à 1
10
On répartit 96 fraises et 72 framboises dans des paniers identiques : même nombre de fraises et même nombre de framboises dans chaque panier, et tout est utilisé. Quel est le plus grand nombre de paniers possible ?
- A12
- B48
- C24
- D6
11
Un entier est divisible par 90 lorsqu'il est divisible à la fois par 10 et par 9. Lequel de ces nombres est divisible par 90 ?
- A610
- B801
- C810
- D910
12
Pour la division euclidienne de 100 par 7, un élève écrit : « quotient 13, reste 9 ». Quelle est son erreur ?
- A100 n'est pas divisible par 7 : la division euclidienne est impossible
- BLe reste doit être inférieur au quotient, pas au diviseur
- CLe reste d'une division euclidienne doit être un multiple du diviseur
- DLe reste doit être strictement inférieur au diviseur : le bon couple est 14 et 2
13
Un élève écrit : « Les nombres premiers de 2 à 11 sont 2, 3, 5, 7, 9, 11. » Quelle est son erreur ?
- A2 ne doit pas figurer, car il est pair, alors qu'un nombre premier est impair
- BIl manque 1, qui serait premier puisque son seul diviseur positif est 1
- C9 ne doit pas figurer, car $9 = 3 \times 3$ a trois diviseurs, pas deux
- D11 ne doit pas figurer, car il dépasse 10 et serait hors de l'intervalle visé
14
Deux alarmes retentissent toutes les 120 secondes et toutes les 150 secondes, en même temps à l'instant 0. Après combien de temps retentissent-elles à nouveau ensemble ?
- A270 secondes
- B600 secondes
- C18 000 secondes
- D30 secondes
15
Un nombre $n$ est à la fois multiple de 6 et diviseur de 24, avec $6 < n < 24$ . Que vaut $n$ ?
- A18
- B8
- C16
- D12

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Corrigé et explications

Divisibilité et premiers : raisonnement

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

1

A · Il faudrait $2^3$ dans la décomposition de 124

$124 = 2^2 \times 31$ : il n'y a que deux facteurs 2 ; pour être divisible par 8, il faudrait $2^3$ dans la décomposition.
2

B · $\frac{9}{10}$

On supprime les facteurs communs 2 et 7 : il reste $\frac{3^2}{2 \times 5} = \frac{9}{10}$ , et 9 et 10 n'ont pas d'autre diviseur commun que 1.
3

C · Parce que $16 = 2^4$ et $27 = 3^3$ n'ont aucun facteur premier commun

$16 = 2^4$ et $27 = 3^3$ : aucun facteur premier en commun, donc aucun diviseur commun autre que 1.
4

C · Il faut aussi que le nombre soit divisible par 2, or 123 est impair

Divisible par 6 exige de l'être par 2 et par 3 : la somme des chiffres de 123 vaut 6, mais 123 est impair, donc non divisible par 2.
5

D · 0

$n = 9 \times 30 + 4$ , donc $n + 5 =$ $9 \times 30 + 9 =$ $9 \times 31$ : le reste est nul. Un reste ne peut d'ailleurs jamais valoir 9.
6

B · 180 secondes

$45 = 3^2 \times 5$ et $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ : le plus petit multiple commun est $2^2 \times 3^2 \times 5 = 180$ s, soit 3 min.
7

A · Parce que 72 est le plus petit multiple commun de 24 et de 36

864 est aussi un multiple commun, mais pas le premier : $24 = 2^3 \times 3$ et $36 = 2^2 \times 3^2$ donnent $2^3 \times 3^2 = 72$ , la première coïncidence.
8

B · Non : la décomposition est unique, à l'ordre des facteurs près

$11 \times 15$ n'est pas une décomposition en facteurs premiers, car 15 n'est pas premier ; seul l'ordre des facteurs peut changer.
9

A · Parce que $15 = 3 \times 5$ et $28 = 2^2 \times 7$ n'ont aucun facteur premier commun

$15 = 3 \times 5$ et $28 = 2^2 \times 7$ : aucun facteur premier commun, donc pas d'autre diviseur commun que 1.
10

C · 24

$96 = 2^5 \times 3$ et $72 = 2^3 \times 3^2$ : le plus grand diviseur commun est $2^3 \times 3 = 24$ , soit 4 fraises et 3 framboises par panier.
11

C · 810

810 se termine par 0 (divisible par 10) et $8 + 1 + 0 = 9$ est divisible par 9 : c'est le seul à vérifier les deux critères.
12

D · Le reste doit être strictement inférieur au diviseur : le bon couple est 14 et 2

Le reste doit être strictement inférieur au diviseur : $100 = 7 \times 14 + 2$ . Le reste 2 étant non nul, 100 n'est pas divisible par 7.
13

C · 9 ne doit pas figurer, car $9 = 3 \times 3$ a trois diviseurs, pas deux

$9 = 3 \times 3$ possède trois diviseurs (1, 3, 9) : c'est un nombre composé. 2, 3, 5, 7 et 11 sont bien premiers.
14

B · 600 secondes

$120 = 2^3 \times 3 \times 5$ et $150 = 2 \times 3 \times 5^2$ : le plus petit multiple commun est $2^3 \times 3 \times 5^2 = 600$ s, soit 10 min.
15

D · 12

Les multiples de 6 strictement compris entre 6 et 24 sont 12 et 18 ; seul 12 divise 24, car $24 = 12 \times 2$ .

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Un élève affirme : « 124 contient $2^2$ dans sa décomposition en facteurs premiers, donc il est divisible par 8. » Qu'a-t-il oublié ?

Après avoir décomposé, Léa écrit $\frac{126}{140} =$ $\frac{2 \times 3^2 \times 7}{2^2 \times 5 \times 7}$ . Quelle forme irréductible obtient-elle ?

Pourquoi 16 et 27 n'ont-ils qu'un seul diviseur commun, à savoir 1 ?

Un élève affirme : « 123 est divisible par 3, donc il est divisible par 6. » Pourquoi a-t-il tort ?

Dans la division euclidienne de $n$ par 9, le quotient est 30 et le reste est 4. Quel est le reste de la division de $n + 5$ par 9 ?

Un phare clignote toutes les 45 secondes, un autre toutes les 60 secondes, et ils viennent de clignoter ensemble. Après combien de temps clignoteront-ils à nouveau ensemble ?

Deux roues d'engrenage ont 24 et 36 dents, avec une dent de chaque roue en contact au départ. Pourquoi les mêmes dents se retrouvent-elles au contact après le passage de 72 dents sur chaque roue, et non après 864, leur produit ?

Un élève décompose 165 et écrit $165 = 3 \times 5 \times 11$ . Peut-il exister une autre décomposition de 165 en produit de facteurs premiers ?

Pourquoi la fraction $\frac{15}{28}$ est-elle irréductible ?

On répartit 96 fraises et 72 framboises dans des paniers identiques : même nombre de fraises et même nombre de framboises dans chaque panier, et tout est utilisé. Quel est le plus grand nombre de paniers possible ?

Un entier est divisible par 90 lorsqu'il est divisible à la fois par 10 et par 9. Lequel de ces nombres est divisible par 90 ?

Pour la division euclidienne de 100 par 7, un élève écrit : « quotient 13, reste 9 ». Quelle est son erreur ?

Un élève écrit : « Les nombres premiers de 2 à 11 sont 2, 3, 5, 7, 9, 11. » Quelle est son erreur ?

Deux alarmes retentissent toutes les 120 secondes et toutes les 150 secondes, en même temps à l'instant 0. Après combien de temps retentissent-elles à nouveau ensemble ?

Un nombre $n$ est à la fois multiple de 6 et diviseur de 24, avec $6 < n < 24$ . Que vaut $n$ ?

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Un élève affirme : « 124 contient 222^2 dans sa décomposition en facteurs premiers, donc il est divisible par 8. » Qu'a-t-il oublié ?

Après avoir décomposé, Léa écrit 126140=\frac{126}{140} =2×32×722×5×7\frac{2 \times 3^2 \times 7}{2^2 \times 5 \times 7}. Quelle forme irréductible obtient-elle ?

Pourquoi 16 et 27 n'ont-ils qu'un seul diviseur commun, à savoir 1 ?

Un élève affirme : « 123 est divisible par 3, donc il est divisible par 6. » Pourquoi a-t-il tort ?

Dans la division euclidienne de nn par 9, le quotient est 30 et le reste est 4. Quel est le reste de la division de n+5n + 5 par 9 ?

Un phare clignote toutes les 45 secondes, un autre toutes les 60 secondes, et ils viennent de clignoter ensemble. Après combien de temps clignoteront-ils à nouveau ensemble ?

Deux roues d'engrenage ont 24 et 36 dents, avec une dent de chaque roue en contact au départ. Pourquoi les mêmes dents se retrouvent-elles au contact après le passage de 72 dents sur chaque roue, et non après 864, leur produit ?

Un élève décompose 165 et écrit 165=3×5×11165 = 3 \times 5 \times 11. Peut-il exister une autre décomposition de 165 en produit de facteurs premiers ?

Pourquoi la fraction 1528\frac{15}{28} est-elle irréductible ?

On répartit 96 fraises et 72 framboises dans des paniers identiques : même nombre de fraises et même nombre de framboises dans chaque panier, et tout est utilisé. Quel est le plus grand nombre de paniers possible ?

Un entier est divisible par 90 lorsqu'il est divisible à la fois par 10 et par 9. Lequel de ces nombres est divisible par 90 ?

Pour la division euclidienne de 100 par 7, un élève écrit : « quotient 13, reste 9 ». Quelle est son erreur ?

Un élève écrit : « Les nombres premiers de 2 à 11 sont 2, 3, 5, 7, 9, 11. » Quelle est son erreur ?

Deux alarmes retentissent toutes les 120 secondes et toutes les 150 secondes, en même temps à l'instant 0. Après combien de temps retentissent-elles à nouveau ensemble ?

Un nombre nn est à la fois multiple de 6 et diviseur de 24, avec 6<n<246 < n < 24. Que vaut nn ?

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Un élève affirme : « 124 contient $2^2$ dans sa décomposition en facteurs premiers, donc il est divisible par 8. » Qu'a-t-il oublié ?

Après avoir décomposé, Léa écrit $\frac{126}{140} =$ $\frac{2 \times 3^2 \times 7}{2^2 \times 5 \times 7}$ . Quelle forme irréductible obtient-elle ?

Dans la division euclidienne de $n$ par 9, le quotient est 30 et le reste est 4. Quel est le reste de la division de $n + 5$ par 9 ?

Un élève décompose 165 et écrit $165 = 3 \times 5 \times 11$ . Peut-il exister une autre décomposition de 165 en produit de facteurs premiers ?

Pourquoi la fraction $\frac{15}{28}$ est-elle irréductible ?

Un nombre $n$ est à la fois multiple de 6 et diviseur de 24, avec $6 < n < 24$ . Que vaut $n$ ?