Calcul exact ou approché : raisonnement

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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1. 1

   Léo affirme : « $-7$ n'est pas un nombre rationnel, puisque c'est un entier. » Quelle est l'erreur dans son raisonnement ?

   Réponse A : Tout entier est un nombre rationnel : $-7=\frac{-7}{1}$

   Un rationnel s'écrit $\frac{a}{b}$ avec $a,b\in\mathbb{Z}$ et $b\neq0$ : tout entier convient, en prenant $b=1$. Entier et rationnel ne s'opposent pas.

2. 2

   Parmi ces fractions, laquelle a pour valeur exacte un nombre décimal ?

   Réponse C : $\frac{3}{12}$

   $\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=0{,}25$ est un décimal. Les autres se simplifient en $\frac{1}{3}$ ou $\frac{2}{9}$, qui ne le sont pas.

3. 3

   Pour quelle valeur de $x$ le quotient $\frac{5}{x-3}$ n'a-t-il pas de sens ?

   Réponse B : $x=3$

   Un dénominateur ne peut jamais être nul. Or $x-3=0$ pour $x=3$ : le quotient n'existe pas pour cette valeur.

4. 4

   Quel calcul donne le même résultat que $\frac{3}{5}\div\frac{1}{4}$ ?

   Réponse B : $\frac{3}{5}\times\frac{4}{1}$

   Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse : l'inverse de $\frac{1}{4}$ est $\frac{4}{1}$. On ne retourne que le diviseur.

5. 5

   Paul calcule $2-5\times(-3)$ et trouve $-13$. Quelle est son erreur ?

   Réponse A : Il a remplacé $2-(-15)$ par $2-15$ ; le bon résultat est 17

   La multiplication est prioritaire : $5\times(-3)=-15$. Puis $2-(-15)=$$2+15=$$17$ : soustraire un négatif, c'est ajouter son opposé.

6. 6

   Que vaut $\left(\sqrt{5}\right)^2+\sqrt{25}$ ?

   Réponse A : 10

   $\left(\sqrt{5}\right)^2=5$ et $\sqrt{25}=5$, d'où $5+5=10$.

7. 7

   Le côté $c$ d'un carré a une aire de $50\text{ cm}^2$. Quel encadrement par deux entiers consécutifs est correct ?

   Réponse A : $7\text{ cm}<c<8\text{ cm}$

   Le côté vaut $\sqrt{50}$ cm. Comme $7^2=$$49<$$50<$$64=$$8^2$, son côté est compris entre 7 cm et 8 cm.

8. 8

   Karim écrit : $\sqrt{25+144}=$$\sqrt{25}+\sqrt{144}=$$17$. Que penser de son calcul ?

   Réponse B : Il est faux : $\sqrt{169}=13$, la racine d'une somme n'est pas la somme des racines

   $\sqrt{25+144}=$$\sqrt{169}=$$13$, alors que $\sqrt{25}+\sqrt{144}=17$ : la racine d'une somme n'est pas la somme des racines.

9. 9

   Lina veut encadrer $\sqrt{40}$ sans calculatrice. Elle calcule $6{,}3^2=39{,}69$ et $6{,}4^2=40{,}96$. Que peut-elle conclure ?

   Réponse A : $6{,}3<\sqrt{40}<6{,}4$

   Puisque $39{,}69<40<40{,}96$, en prenant la racine carrée : $6{,}3<\sqrt{40}<6{,}4$. Comparer les carrés suffit.

10. 10

    Quel est l'écart entre les deux solutions de l'équation $x^2=9$ ?

    Réponse C : 6

    Les solutions sont 3 et −3. L'écart entre elles vaut $3-(-3)=$$3+3=$$6$.

11. 11

    Combien de solutions l'équation $x^2=-9$ a-t-elle ?

    Réponse D : Aucune

    Le carré d'un nombre relatif n'est jamais négatif : $x^2=-9$ n'a aucune solution, et $\sqrt{-9}$ n'a pas de sens au collège.

12. 12

    Que vaut $3^5\div3^3\times3$ ?

    Réponse B : 27

    On soustrait les exposants : $3^5\div3^3=3^2$. Puis $3^2\times3=3^3=27$.

13. 13

    Que vaut $10^{-3}\times10^{5}\div10^{-1}$ ?

    Réponse D : 1000

    $-3+5=2$ pour le produit, puis $2-(-1)=3$ pour le quotient : le résultat est $10^3=1000$.

14. 14

    Quelle est la valeur exacte de $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$ ?

    Réponse C : $\frac{9}{4}$

    L'exposant négatif donne l'inverse : $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=$$\left(\frac{3}{2}\right)^2=$$\frac{9}{4}$.

15. 15

    Sans calculatrice, quelle est l'écriture scientifique du produit $0{,}00042\times$$3\,500\,000$ ?

    Réponse B : $1{,}47\times10^{3}$

    $4{,}2\times$$10^{-4}\times$$3{,}5\times$$10^{6}=$$14{,}7\times10^{2}$, qu'on réécrit $1{,}47\times10^{3}$ en notation scientifique.

16. 16

    Une population de bactéries double toutes les 30 minutes. Au bout de combien de temps a-t-elle été multipliée par $2^{10}$ ?

    Réponse B : 5 heures

    Être multipliée par $2^{10}$ demande 10 doublements, soit $10\times30$ min $=300$ min, c'est-à-dire 5 heures.

17. 17

    Une masse de cuivre vaut $3\times10^{15}$ nanogrammes. Quelle est cette masse en grammes ?

    Réponse D : $3\times10^{6}$ g

    1 ng $=10^{-9}$ g : on soustrait les exposants, $15-9=6$, donc $3\times10^{15}$ ng $=3\times10^{6}$ g.