Pièges en géométrie plane (3e)

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Dans une configuration papillon, pour écrire les égalités $\frac{AB}{AD}=$$\frac{AC}{AE}=$$\frac{BC}{DE}$, il faut d’abord justifier que les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

   Vrai

   Le théorème de Thalès suppose que $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles : ce parallélisme doit être établi avant d’écrire les rapports.

2. 2

   Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on peut appliquer la formule du cosinus à l’angle $\widehat{A}$, comme à l’angle $\widehat{B}$.

   Faux

   Les formules du cosinus, du sinus et de la tangente ne valent que pour un angle aigu : $\widehat{A}$ est l’angle droit.

3. 3

   Un triangle de côtés 4 cm, 6 cm et 9 cm est semblable à un triangle de côtés 6 cm, 9 cm et 13,5 cm.

   Vrai

   $\frac{6}{4}=$$\frac{9}{6}=$$\frac{13{,}5}{9}=$$\frac{3}{2}$ : les côtés correspondants sont proportionnels, donc les triangles sont semblables.

4. 4

   Dans une configuration papillon avec $(BC)\parallel(DE)$, le triangle $ADE$ est l’image du triangle $ABC$ par l’homothétie de centre $A$ et de rapport $\frac{AD}{AB}$.

   Faux

   Le rapport est $-\frac{AD}{AB}$ : il est négatif, car $B$ et $D$ sont de part et d’autre de $A$.

5. 5

   Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, si $\tan\widehat{B}=2$, alors $\tan\widehat{C}=\frac{1}{2}$.

   Vrai

   Les angles $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ sont complémentaires ; $\tan\widehat{C}=$$\frac{AB}{AC}$ est l’inverse de $\tan\widehat{B}=$$\frac{AC}{AB}$.

6. 6

   Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, si $\cos\widehat{B}=\frac{1}{2}$ et $BC=14$ cm, alors $AB=28$ cm.

   Faux

   $AB=$$BC\times\cos\widehat{B}=$$14\times\frac{1}{2}=$$7$ cm : le cosinus multiplie l’hypoténuse, il ne la divise pas.

7. 7

   Dans une configuration papillon avec $(BC)\parallel(DE)$, si $AD$ est plus grand que $AB$, alors $DE$ est plus grand que $BC$.

   Vrai

   Thalès donne $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$ : ce rapport est supérieur à 1, donc $DE$ dépasse $BC$.

8. 8

   Une homothétie de rapport $-2$ conserve les longueurs, comme une rotation : un segment de 5 cm a pour image un segment de 5 cm.

   Faux

   Une homothétie multiplie les longueurs par la valeur absolue de son rapport : ici, $|-2|\times 5=10$ cm.

9. 9

   Dans une configuration papillon avec $(BC)\parallel(DE)$, on a $AB=3$ cm, $AD=7$ cm et $BC=9$ cm : donc $DE=\frac{27}{7}$ cm.

   Faux

   $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$, donc $DE=9\times\frac{7}{3}=21$ cm : il faut multiplier par $\frac{AD}{AB}$, non par $\frac{AB}{AD}$.

10. 10

    Un triangle de côtés 6 cm, 10 cm et 15 cm est semblable à un triangle de côtés 9 cm, 15 cm et 20 cm.

    Faux

    $\frac{9}{6}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$, mais $\frac{20}{15}=\frac{4}{3}$ : les côtés correspondants ne sont pas proportionnels.

11. 11

    Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, si $\cos\widehat{B}=\frac{2}{3}$ et $BC=18$ cm, alors $AB=12$ cm et $\sin\widehat{C}=\frac{2}{3}$.

    Vrai

    $AB=18\times\frac{2}{3}=12$ cm ; $AB$ est le côté opposé à $\widehat{C}$, donc $\sin\widehat{C}=$$\frac{12}{18}=$$\frac{2}{3}$.

12. 12

    Une rosace formée de 9 motifs identiques répartis régulièrement autour d’un centre $O$ est invariante par la rotation de centre $O$ et d’angle $40^\circ$.

    Vrai

    Le pas angulaire est $\frac{360^\circ}{9}=40^\circ$ : la rotation envoie chaque motif à la place du suivant.

13. 13

    Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ont le même cosinus, car leur somme vaut $90^\circ$.

    Faux

    Dans $ABC$ rectangle en $A$, $\cos\widehat{B}=$$\frac{AB}{BC}$ et $\cos\widehat{C}=$$\frac{AC}{BC}$ : ils ne sont égaux que si $AB=AC$.

14. 14

    Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus étant complémentaires, le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre.

    Vrai

    Dans $ABC$ rectangle en $A$, $\sin\widehat{B}=$$\frac{AC}{BC}$ et $\cos\widehat{C}=$$\frac{AC}{BC}$ : les deux rapports sont égaux.

15. 15

    Par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $-\frac{1}{4}$, un point $M$ tel que $OM=8$ cm a pour image $M'$ tel que $OM'=8$ cm.

    Faux

    $OM'=\frac{1}{4}\times 8=2$ cm : le signe négatif indique le côté de $O$, pas la distance.