Transformations : idées reçues (3e)

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Une homothétie de rapport $3$ transforme un segment de 4 cm en un segment de 12 cm ; une homothétie de rapport $\frac{1}{3}$ ramène ce segment de 12 cm à 4 cm.

   Vrai

   Les longueurs sont multipliées par $|k|$ : $4 \times 3 = 12$, puis $12 \times \frac{1}{3} = 4$.

2. 2

   Un segment de 4 cm est agrandi par une homothétie de rapport $3$, puis son image est translatée de 5 cm : le segment final mesure 17 cm.

   Faux

   Une translation ne change pas la longueur d’un segment : seule l’homothétie la modifie, en la multipliant par 3, et non en lui ajoutant 5 cm.

3. 3

   Par une homothétie de rapport $\frac{1}{2}$, un rectangle de 10 cm sur 6 cm a pour image un rectangle d’aire 15 cm².

   Vrai

   Les côtés deviennent $10 \times \frac{1}{2} = 5$ cm et $6 \times \frac{1}{2} = 3$ cm, donc l’aire vaut $5 \times 3 = 15$ cm².

4. 4

   Une homothétie de rapport $-3$ réduit une figure, car son rapport est négatif.

   Faux

   Le signe de $k$ place l’image de l’autre côté du centre, mais la taille dépend de $|k|$ : avec $|-3| = 3$, la figure est agrandie.

5. 5

   Par une homothétie de rapport $-2$, un cercle de rayon 3 cm a pour image un cercle de rayon 6 cm, dont le périmètre est doublé.

   Vrai

   Le rayon est multiplié par $|-2| = 2$ et devient 6 cm ; le périmètre d’une figure est multiplié par $|k|$, il est donc doublé.

6. 6

   Dans une configuration de Thalès où $(BC)\parallel(B'C')$, avec $AB = 2$ cm, $AB' = 5$ cm et $BC = 4$ cm, le segment $B'C'$ mesure 1,6 cm.

   Faux

   Le rapport vaut $\frac{AB'}{AB} = \frac{5}{2}$, donc $B'C' =$$BC \times \frac{5}{2} =$$4 \times \frac{5}{2} =$$10$ cm, et non 1,6 cm.

7. 7

   Un cube d’arête 2 cm est agrandi par une homothétie de rapport $3$ : son arête mesure 6 cm, et son volume est multiplié par 3, soit 24 cm³.

   Faux

   Les volumes sont multipliés par $|k|^3 = 27$, et non par $|k| = 3$ : $8 \times 27 = 216$ cm³.

8. 8

   Par une homothétie de rapport $\frac{1}{4}$, l’image $M'$ d’un point $M$ distinct de $O$ est située sur la demi-droite $[OM)$, à une distance de $O$ égale au quart de $OM$.

   Vrai

   Avec $k > 0$, $M'$ reste sur $[OM)$, et $OM' =$$|k| \times OM =$$\frac{1}{4} OM$ : la distance au centre est divisée par 4.

9. 9

   Dans une rotation de centre $O$ et d’angle $90^\circ$, l’image $M'$ d’un point $M$ distinct de $O$ est située sur la demi-droite $[OM)$.

   Faux

   L’angle $\widehat{MOM'}$ mesure $90^\circ$ : $M'$ n’est donc pas sur la demi-droite $[OM)$.

10. 10

    Un rectangle de 6 cm sur 5 cm subit une symétrie axiale : son image a un périmètre de 22 cm et une aire de 30 cm².

    Vrai

    Une symétrie axiale conserve longueurs et aires : le périmètre reste $2 \times (6 + 5) = 22$ cm et l’aire $6 \times 5 = 30$ cm².

11. 11

    Une symétrie centrale est définie par un axe.

    Faux

    Elle est définie par un centre, un point ; la symétrie axiale est définie par un axe, une droite.

12. 12

    Une homothétie de centre $O$ transforme une droite $(d)$ passant par $O$ en elle-même.

    Vrai

    Si $(d)$ passe par $O$ et que $M \neq O$ est sur $(d)$, la droite $(OM)$ est $(d)$ : $M'$, sur $[OM)$ ou sur la demi-droite opposée, reste donc sur $(d)$. Le centre $O$ reste fixe.

13. 13

    Dans une rotation de centre $O$ et d’angle $90^\circ$, pour un point $M$ distinct de $O$ et son image $M'$, le point $O$ est le milieu du segment $[MM']$.

    Faux

    Le milieu de $[MM']$ caractérise la symétrie centrale, rotation de $180^\circ$ : avec $90^\circ$, l’angle $\widehat{MOM'}$ mesure $90^\circ$, donc $O$ n’est pas milieu.

14. 14

    Une figure d’aire 9 cm² est translatée, puis son image est agrandie par une homothétie de rapport $2$ : son aire finale est 36 cm².

    Vrai

    La translation conserve l’aire, qui reste 9 cm² ; l’homothétie multiplie les aires par $2^2 = 4$ : $9 \times 4 = 36$ cm².

15. 15

    Un triangle de périmètre 15 cm est tourné, puis son image est agrandie par une homothétie de rapport $3$ : son périmètre final est 45 cm.

    Vrai

    La rotation conserve les longueurs, donc le périmètre reste 15 cm ; ensuite l’homothétie le multiplie par $|k| = 3$.

16. 16

    Un rectangle de 5 cm sur 3 cm est tourné de $90^\circ$ autour d’un point : son image a une aire différente, car elle a changé de position.

    Faux

    Une rotation conserve les longueurs et les aires, même si la figure change de position : l’aire de l’image est celle du rectangle de départ.