Facteurs premiers et divisibilité

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Le nombre 252 est divisible par 12, car il est divisible par 4 et par 3.

   Vrai

   $252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$ contient $2^2$ et $3$, donc $12 = 2^2 \times 3$ divise 252 : $252 = 12 \times 21$.

2. 2

   Dans le crible d’Ératosthène, 39 n’est pas barré après le traitement des multiples de 2, puis des multiples de 3.

   Faux

   $39 = 3 \times 13$ est un multiple de 3 autre que 3 : il est donc barré à cette étape du crible.

3. 3

   Les nombres 14 et 45 sont premiers entre eux.

   Vrai

   $14 = 2 \times 7$ et $45 = 3^2 \times 5$ n’ont pas de facteur premier commun, donc ils sont premiers entre eux.

4. 4

   Le nombre 21 est premier, car il est impair.

   Faux

   Être impair ne suffit pas : $21 = 3 \times 7$ a quatre diviseurs (1, 3, 7 et 21), alors qu’un nombre premier n’en a que deux.

5. 5

   96 bonbons peuvent être répartis sans reste entre 8 enfants, mais pas entre 9 enfants.

   Vrai

   $96 = 2^5 \times 3$ contient $2^3$, donc 96 est divisible par 8 ; il n’a qu’un facteur 3, insuffisant pour $3^2 = 9$.

6. 6

   Le nombre 390 est un multiple de 52, car c’est un multiple de 13.

   Faux

   $390 =$$2 \times 3 \times 5 \times 13$ ne contient qu’un facteur 2, alors que $52 = 2^2 \times 13$ en exige deux : $390 \div 52 = 7{,}5$.

7. 7

   Un nombre premier supérieur à 5 ne peut pas se terminer par 6.

   Vrai

   Un nombre terminé par 6 est pair, donc divisible par 2 ; supérieur à 2, il n’est pas premier.

8. 8

   La fraction $\frac{84}{126}$ ne peut pas être simplifiée, car 84 et 126 ne sont pas des nombres premiers.

   Faux

   84 et 126 ont un diviseur commun, 42 : diviser le numérateur et le dénominateur par 42 donne $\frac{84}{126} = \frac{2}{3}$.

9. 9

   Un nombre impair ne peut pas être divisible par 6.

   Vrai

   Un multiple de 6 est divisible par 2, car $6 = 2 \times 3$ : il est donc pair, et un nombre impair ne peut pas être divisible par 6.

10. 10

    Le PGCD de 60 et 84 est 6, car 6 divise à la fois 60 et 84.

    Faux

    $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ et $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ : leur facteur commun maximal est $2^2 \times 3 = 12$. Donc leur PGCD vaut 12, et non 6.

11. 11

    La fraction $\frac{36}{48}$ est égale à $\frac{3}{4}$, car 36 et 48 sont divisibles par 12.

    Vrai

    $36 = 12 \times 3$ et $48 = 12 \times 4$ : diviser le numérateur et le dénominateur par 12 donne $\frac{3}{4}$.

12. 12

    La somme de deux nombres premiers impairs est un nombre premier.

    Faux

    Deux nombres impairs ont une somme paire, et un nombre pair supérieur à 2 n’est pas premier : $3 + 5 = 8 = 2 \times 4$.

13. 13

    Le nombre 56 est divisible par 28, car il est divisible par 4 et par 7.

    Vrai

    $56 = 2^3 \times 7$ contient $2^2$ et $7$, donc $28 = 2^2 \times 7$ divise 56 : $56 = 28 \times 2$.

14. 14

    La fraction $\frac{35}{45}$ se simplifie en $\frac{7}{9}$, et 7 et 9 n’ont pas de diviseur commun autre que 1.

    Vrai

    $35 = 5 \times 7$ et $45 = 5 \times 9$ : diviser le numérateur et le dénominateur par 5 donne $\frac{7}{9}$, qui ne peut plus être simplifiée.

15. 15

    Le nombre 221 est premier, car il se termine par 1.

    Faux

    Un nombre premier supérieur à 5 se termine par 1, 3, 7 ou 9, mais se terminer par 1 ne suffit pas : $221 = 13 \times 17$ n’est pas premier.