Diviseurs, multiples et factorisation

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Dans la division euclidienne de 95 par 6, le quotient est 16 et le reste est $-1$.

   Faux

   Le reste doit vérifier $0 \leq r < 6$ : un reste négatif n’est pas accepté, même si $6 \times 16 - 1 = 95$.

2. 2

   Un nombre multiple de 4 est forcément pair.

   Vrai

   Si $a = 4 \times k$, alors $a = 2 \times (2 \times k)$ : $a$ est divisible par 2, donc il est pair.

3. 3

   Un nombre multiple de 4 et de 6 est forcément multiple de 24.

   Faux

   $12 = 4 \times 3$ et $12 = 6 \times 2$ : 12 est multiple de 4 et de 6, pourtant il n’est pas multiple de 24.

4. 4

   Tout nombre premier différent de 2 est impair.

   Vrai

   Un nombre premier pair a 2 pour diviseur ; ses diviseurs n’étant que 1 et lui-même, il vaut 2.

5. 5

   Si un nombre est divisible par 4, il est aussi divisible par 8.

   Faux

   $12 = 4 \times 3$ est divisible par 4 mais pas par 8 : être multiple de 8 entraîne d’être multiple de 4, pas l’inverse.

6. 6

   Pour trouver les diviseurs de 48, on peut tester les divisions euclidiennes par 1, 2, 3, 4… et garder celles dont le reste est nul.

   Vrai

   Par exemple $48 = 6 \times 8 + 0$ : le reste est nul, donc 6 est un diviseur de 48.

7. 7

   Le nombre 60 est multiple de 5, donc 5 est multiple de 60.

   Faux

   $60 = 5 \times 12$ : 60 est multiple de 5, mais 5 ne peut pas être multiple de 60, puisqu’il est plus petit.

8. 8

   Dans le crible d’Ératosthène, après avoir écarté 1, les nombres qui restent non barrés à la fin sont les nombres premiers.

   Vrai

   On écarte d’abord 1, puis le crible barre les multiples de 2, de 3, de 5, de 7, etc. Les nombres qui restent, comme 11 ou 13, sont premiers.

9. 9

   Le nombre 0 n’est pas un multiple de 7.

   Faux

   $0 = 7 \times 0$ : 0 est bien un multiple de 7.

10. 10

    Le nombre 90 est à la fois multiple de 5 et de 6.

    Vrai

    $90 = 5 \times 18$ et $90 = 6 \times 15$ : 90 est donc multiple de 5 et de 6.

11. 11

    Factoriser un nombre entier, c’est l’écrire comme une somme de deux nombres entiers.

    Faux

    Factoriser, c’est l’écrire comme produit, par exemple $10 = 2 \times 5$.

12. 12

    Le nombre 72 peut s’écrire $8 \times 9$ : c’est une factorisation de 72.

    Vrai

    Une factorisation est une écriture en produit de deux nombres différents de 1 ; ici $8 \times 9 = 72$.

13. 13

    Le nombre 91 est premier, car il n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5.

    Faux

    $91 = 7 \times 13$ : 91 a d’autres diviseurs que 1 et lui-même, il n’est donc pas premier.

14. 14

    Il existe une infinité de nombres premiers, démontrée dès l’Antiquité par Euclide.

    Vrai

    Euclide l’a démontré : il n’existe donc pas de liste complète et finie des nombres premiers.

15. 15

    Le nombre 2 024 est impair, car il se termine par 4.

    Faux

    Un nombre dont le chiffre des unités est 4 est divisible par 2 : $2\,024 = 2 \times 1\,012$, donc il est pair.

16. 16

    Le plus petit nombre premier est 2.

    Vrai

    0 et 1 ne sont pas premiers, et 2 est premier : c’est donc le plus petit nombre premier.

17. 17

    Dans l’égalité $100 = 7 \times 14 + 2$, le nombre 14 est le reste de la division euclidienne.

    Faux

    14 est le quotient : le reste est 2, car $0 \leq 2 < 7$.