Divisibilité et nombres premiers : abécédaire (4e)

Branche des mathématiques qui étudie les propriétés des nombres entiers.

Multiples, diviseurs, nombres premiers et PGCD relèvent de l’arithmétique : par exemple, 35 est divisible par 5, car 35 = 5 × 7.

Nombre répété dans un produit écrit avec un petit nombre en haut à droite : dans 2³ = 2 × 2 × 2, c’est 2.

Dans 780 = 2² × 3 × 5 × 13, la base 2 porte l’exposant 2 : 2² = 4. Les bases 3, 5 et 13 ont pour exposant 1, qu’on n’écrit pas.

Règle qui permet de savoir, sans effectuer la division, si un entier peut être partagé exactement par 2, 3, 5, 9 ou 10.

Pour 3 et 9, on additionne les chiffres : 1 + 2 + 5 + 4 = 12 est divisible par 3, donc 1254 aussi (3 × 418) ; 7 + 2 + 1 + 8 = 18 est divisible par 9, donc 7218 aussi (9 × 802).

Écriture d’un entier comme produit de nombres qui n’ont que 1 et eux-mêmes pour diviseurs : 12 = 2 × 2 × 3.

On divise 60 par 2, puis 30 par 2, puis 15 par 3, puis 5 par 5 : 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5. Pour 780, on obtient 2² × 3 × 5 × 13.

Savant grec de l’Antiquité qui a donné son nom à un crible servant à repérer les nombres ayant exactement deux diviseurs.

Son crible barre d’abord les multiples de 2 autres que 2, puis ceux de 3 autres que 3, et ainsi de suite : 15 est barré, car c’est un multiple de 3.

Écriture a/b d’un nombre, dont le numérateur et le dénominateur n’ont que 1 pour diviseur commun : 3/5 en est une, 12/18 non.

Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux : 3 et 5 le sont, mais 12 et 18 ne le sont pas, car ils ont 6 comme diviseur commun.

Nombre qui n’est pas divisible par 2, comme 27.

Tous les nombres premiers sauf 2 sont impairs : 2 est le seul nombre premier pair, car les autres nombres pairs sont divisibles par 2, comme 14 = 2 × 7.

Produit d’un nombre donné par un entier, comme 35 = 5 × 7 pour le nombre 5.

Les multiples non nuls de 7 inférieurs à 50 sont 7, 14, 21, 28, 35, 42 et 49. Dire que 5 est un diviseur de 35 revient à dire que 35 est un multiple de 5.

Entier naturel qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même, comme 7.

Les nombres premiers inférieurs à 10 sont 2, 3, 5 et 7. Le nombre 1 n’est pas premier, car il n’a qu’un seul diviseur, lui-même.

Le plus élevé des nombres qui entrent exactement dans deux entiers : pour 12 et 18, c’est 6.

Les diviseurs communs de 12 et 18 sont 1, 2, 3 et 6 : le plus grand est 6. Deux entiers dont le seul diviseur commun est 1, comme 15 et 28, sont dits premiers entre eux.

Résultat de la division d’un nombre par un autre, comme 35 ÷ 5 = 7.

Si le quotient de a par b est un entier, a est divisible par b : 35 ÷ 5 = 7, donc 35 est divisible par 5.

Ce qui n’a pas pu être partagé à la fin d’une division euclidienne : il est nul quand le premier nombre est divisible par le second.

Dans 47 = 5 × 9 + 2, le quotient est 9 et le reste est 2 : 47 n’est pas divisible par 5. Dans 45 = 5 × 9 + 0, le reste est nul : 45 est divisible par 5.

Action de diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul : 12/18 donne 2/3.

On divise le numérateur et le dénominateur par 6 : 12/18 = 2/3. La valeur de la fraction ne change pas : en multipliant haut et bas par 5, on obtient 2/3 = 10/15.

Nom du rang du chiffre le plus à droite d’un entier, celui qui suffit pour savoir s’il est divisible par 2, par 5 ou par 10.

Un entier est divisible par 2 si ce chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 : 348 = 2 × 174. Il l’est par 5 si ce chiffre est 0 ou 5 : 1265 = 5 × 253. Par 10 s’il est 0 : 2470 = 10 × 247.

Petit nombre écrit en haut à droite d’un autre : il indique combien de fois celui-ci apparaît dans un produit, comme 3 dans 2³ = 2 × 2 × 2.

Dans 780 = 2² × 3 × 5 × 13, l’exposant 2 signifie que 2 apparaît deux fois : 2² = 4, et 4 × 3 × 5 × 13 = 780.

Seul entier par lequel on ne peut pas diviser, quel que soit le nombre divisé.

Dire que a est divisible par b suppose que b n’est pas nul : 35 est divisible par 5, car 35 = 5 × 7, mais on ne divise jamais 35 par 0.