Raisonner avec les transformations (3e)

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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1. 1

   Une homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$ transforme le point $M$ en $M'$. Si $OM = 1{,}5$ cm, quelle est la longueur $MM'$ ?

   Réponse A : 4,5 cm

   $OM' = 2\times 1{,}5 = 3$ cm ; comme $k<0$, $O$ est entre $M$ et $M'$, donc $MM' =$$1{,}5 + 3 =$$4{,}5$ cm.

2. 2

   Un compas de réduction reproduit une figure à une échelle plus petite. Pourquoi la figure obtenue a-t-elle la même forme que l'original ?

   Réponse D : Parce qu'elle conserve les angles et multiplie toutes les longueurs par le même nombre

   Une réduction conserve les angles et multiplie toutes les longueurs par le même nombre : les proportions entre les longueurs restent identiques, donc la forme aussi.

3. 3

   Un point $M$ est à 4 cm du centre $O$. Une rotation de centre $O$ transforme $M$ en $M'$, puis une homothétie de centre $O$ et de rapport $3$ transforme $M'$ en $M''$. Quelle est la distance $OM''$ ?

   Réponse B : 12 cm

   La rotation conserve la distance au centre : $OM'=4$ cm. L'homothétie multiplie cette distance par $|k|=3$ : $OM''=3\times 4=12$ cm.

4. 4

   Un solide de volume 54 cm³ est réduit par une homothétie de rapport $\frac{1}{3}$. Quel est le volume de son image ?

   Réponse A : 2 cm³

   Une réduction de rapport $\frac{1}{3}$ divise chaque longueur par 3, donc le volume est multiplié par $\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}$ : $54\div 27=2$ cm³.

5. 5

   Sur un plan à l'échelle $\frac{1}{50}$, quelle longueur, en cm, représente un mur réel de 3 m ?

   Réponse A : 6 cm

   Le mur mesure $3\times 100=300$ cm ; à l'échelle $\frac{1}{50}$, il est représenté par $300\div 50=6$ cm.

6. 6

   Un cercle de rayon 4 cm est l'image d'un cercle par une homothétie de rapport $\frac{1}{2}$. Quel est le rayon du cercle de départ ?

   Réponse D : 8 cm

   Le rayon de l'image vaut $\frac{1}{2}\times r$ : $r=4\times 2=8$ cm. Le cercle de départ est donc plus grand, ce qui est normal pour une réduction.

7. 7

   Un élève affirme : « Une homothétie de rapport $3$ multiplie les longueurs par $3$ et les aires par $3^2$ ; elle multiplie donc aussi les volumes par $3^2$. » Quelle est son erreur ?

   Réponse C : Les volumes sont multipliés par $3^3=27$ et non par $3^2$

   Un volume a trois dimensions, chacune multipliée par 3 : le volume est multiplié par $3^3=27$, et non par $3^2$, qui est le facteur des aires.

8. 8

   Une figure d'aire 80 cm² subit une rotation, puis une homothétie de rapport $\frac{1}{2}$. Quelle est l'aire de l'image finale ?

   Réponse A : 20 cm²

   La rotation conserve l'aire : elle reste de 80 cm². L'homothétie la multiplie par $\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$ : $80\times\frac{1}{4}=20$ cm².

9. 9

   Un cube de volume 64 cm³ devient, par une homothétie de rapport positif, un cube de volume 512 cm³. Quel est le rapport de cette homothétie ?

   Réponse C : $2$

   Le volume est multiplié par $\frac{512}{64}=8$, c'est-à-dire par $|k|^3$ : comme $2^3=8$, le rapport vaut $2$.

10. 10

    Une symétrie centrale de centre $O$ transforme $M$ en $M_1$, puis une rotation de centre $O$ et d'angle $90^\circ$ transforme $M_1$ en $M_2$. Si $OM = 2{,}5$ cm, quelle est la distance $OM_2$ ?

    Réponse A : 2,5 cm

    Une symétrie centrale est une rotation de 180° : comme la rotation de 90°, elle conserve la distance au centre. Donc $OM_2=OM=2{,}5$ cm.

11. 11

    Pour qu'une homothétie de centre $O$ envoie $M$ sur $M'$ avec $M'$ de l'autre côté de $O$ et plus loin de $O$ que $M$, quel rapport faut-il choisir ?

    Réponse D : $-2$

    Un rapport négatif place $M'$ de l'autre côté de $O$, et $OM'=|k|\times OM$ doit dépasser $OM$ : il faut $|k|>1$, donc $k=-2$.

12. 12

    Un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm a pour image, par une homothétie de rapport positif, un triangle de périmètre 36 cm. Quel est le rapport de cette homothétie ?

    Réponse B : $3$

    Le périmètre de départ vaut $3+4+5=12$ cm ; il est multiplié par $|k|$, donc $|k|=36\div 12=3$.

13. 13

    Sur un plan à l'échelle $\frac{1}{50}$, un rectangle mesure 3 cm sur 2 cm. Quelle est l'aire réelle du rectangle qu'il représente ?

    Réponse B : 1,5 m²

    Les longueurs réelles valent $150$ cm et $100$ cm : l'aire réelle est $150\times 100=15\,000$ cm², soit $1{,}5$ m².

14. 14

    Une homothétie de rapport $\frac{1}{2}$ transforme un segment en un segment de 7,5 cm. Quelle était la longueur du segment de départ ?

    Réponse B : 15 cm

    L'image mesure $\frac{1}{2}$ de la longueur de départ : $7{,}5\div\frac{1}{2}=15$ cm, soit $7{,}5\times 2$.

15. 15

    Une homothétie multiplie l'aire d'une figure par $25$. Par combien le périmètre de cette figure est-il multiplié ?

    Réponse C : $\times 5$

    L'aire est multipliée par $k^2=25$, donc $|k|=5$ ; le périmètre est multiplié par $|k|$, soit $\times 5$.

16. 16

    Un triangle est tracé dans le sens des aiguilles d'une montre. Il subit une symétrie axiale, puis une rotation. Dans quel sens est-il orienté après ces deux transformations ?

    Réponse D : Dans le sens inverse : seule la symétrie change l'orientation

    Une symétrie axiale change l'orientation, alors qu'une rotation la conserve : après les deux, la figure a une orientation inverse de celle de départ.