Raisonner avec la proportionnalité (5e)

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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1. 1

   Dans un tableau, on lit : 2 kg pour 7 €, 5 kg pour 17,50 € et 8 kg pour 28 €. Quelle vérification prouve que ce tableau est un tableau de proportionnalité ?

   Réponse B : Tous les quotients prix ÷ masse sont égaux : $\frac{7}{2} =$$\frac{17{,}5}{5} =$$\frac{28}{8} =$$3{,}5$

   On divise chaque prix par sa masse : $7 \div 2 =$$17{,}5 \div 5 =$$28 \div 8 =$$3{,}5$. Tous les quotients sont égaux : le tableau est bien un tableau de proportionnalité.

2. 2

   À prix unitaire constant, un lot de 4 marqueurs identiques coûte 12 €. Pour trouver le prix de 20 marqueurs, Amine multiplie 12 par 5. Pourquoi sa méthode est-elle correcte ?

   Réponse C : Parce que $20=4\times5$ : le prix est lui aussi multiplié par 5

   C'est la linéarité multiplicative : $20 = 4 \times 5$, donc le prix est $12 \times 5 = 60$ €. Le résultat est le même qu'en passant par le prix d'un marqueur.

3. 3

   Dans une situation de proportionnalité, la seconde grandeur $y$ s'obtient à partir de la première $x$ par $y = k \times x$, avec $k = 2{,}5$. Quelle valeur de $x$ correspond à $y = 35$ ?

   Réponse A : 14

   On cherche $x$ tel que $2{,}5 \times x = 35$, donc $x = 35 \div 2{,}5 = 14$. Vérification : $2{,}5 \times 14 = 35$.

4. 4

   Pour la location de vélos, on représente le prix à payer en fonction de la durée : on obtient une droite qui coupe l'axe vertical au point de coordonnées $(0;4)$. Que peut-on en déduire ?

   Réponse D : Il y a un montant fixe de 4 € : la situation n'est pas proportionnelle

   Pour une durée nulle, on paie déjà 4 €. Or dans une proportionnalité, $0 \times k = 0$ : il y a ici un montant fixe, la situation n'est pas proportionnelle.

5. 5

   Sur une carte à l'échelle $\frac{1}{25\,000}$, un sentier mesure 4 cm. Quelle est sa longueur réelle ?

   Réponse A : 1 km

   On multiplie par 25 000 : $4 \times 25\,000 =$$100\,000$ cm, soit 1 km, car 1 km = 100 000 cm.

6. 6

   Dans une classe de 32 élèves, il y a 50 % de filles, et 25 % des filles portent des lunettes. Combien de filles portent des lunettes ?

   Réponse B : 4

   50 % de 32 élèves : la moitié, soit 16 filles. Puis 25 % de 16 : un quart, soit $16 \div 4 = 4$. Le second pourcentage porte sur les filles, pas sur la classe.

7. 7

   Dans trois classes, on élit un délégué. Ana obtient 8 voix sur 40, Bilal 9 voix sur 30 et Chloé 10 voix sur 50. Qui a obtenu le meilleur pourcentage de voix ?

   Réponse A : Bilal, avec 30 % des voix

   Ana : $\frac{8}{40} = 20\%$ ; Chloé : $\frac{10}{50} = 20\%$ ; Bilal : $\frac{9}{30} = 30\%$. Malgré moins de voix que Chloé, Bilal a le meilleur pourcentage.

8. 8

   Un article coûte 200 €. Son prix augmente de 10 %, puis ce nouveau prix baisse de 10 %. Quel est le prix final ?

   Réponse B : 198 €

   $200 + 20 = 220$, puis $220 - 22 = 198$. Les deux pourcentages ne se compensent pas : ils ne portent pas sur le même prix.

9. 9

   On place 2 000 € à intérêts simples au taux de 3 % par an. Quel est le montant total des intérêts versés au bout de 2 ans ?

   Réponse C : 120 €

   3 % de 2 000 €, c'est 60 € par an. Les intérêts sont proportionnels à la durée : $60 \times 2 = 120$ € au bout de deux ans.

10. 10

    Un article est vendu 90 € toutes taxes comprises (TTC), avec une TVA de 20 %. Sami veut retrouver le prix hors taxes (HT) : il retire 20 % de 90 € et trouve 72 €. Quel est le véritable prix HT ?

    Réponse D : 75 €

    Le prix TTC vaut 1,2 fois le prix HT : $75 \times 1{,}2 = 90$. Les 20 % se calculent à partir du HT : retirer 20 % de 90 € est incorrect.

11. 11

    Un paquet de 500 g de café coûte 4,50 €. Quel est le prix de 1,8 kg de ce café, au même prix au kilogramme ?

    Réponse B : 16,20 €

    1,8 kg = 1 800 g. Un kilogramme coûte $4{,}50 \times 2 = 9$ €, donc 1,8 kg coûte $9 \times 1{,}8 = 16{,}20$ €.

12. 12

    Une recette pour 4 personnes demande 150 g de beurre. Quelle masse de beurre faut-il pour préparer cette recette pour 10 personnes ?

    Réponse D : 375 g

    Pour une personne : $150 \div 4 = 37{,}5$ g. Pour dix personnes : $37{,}5 \times 10 = 375$ g.

13. 13

    Un nuage de points contient $(0;0)$, $(1;3)$, $(2;6)$ et $(4;13)$. Peut-il représenter une situation de proportionnalité ?

    Réponse B : Non : pour $x=4$, on attendrait $y=12$, et non 13

    $\frac{3}{1} = \frac{6}{2} = 3$, mais $\frac{13}{4} = 3{,}25$ : le point $(4;13)$ n'est pas aligné avec les autres points et l'origine.

14. 14

    Un paquet de 6 gourdes identiques coûte 4,20 €, et un paquet de 8 gourdes identiques coûte 5,60 €. Que donne la comparaison de leurs prix unitaires ?

    Réponse D : Les deux paquets reviennent au même prix : 0,70 € la gourde

    $4{,}20 \div 6 = 0{,}70$ € et $5{,}60 \div 8 = 0{,}70$ € par gourde : les deux paquets ont le même prix unitaire.

15. 15

    Une moto roule à vitesse constante : elle parcourt 90 km en 1 h 30 min. Quelle distance parcourt-elle en 2 h 30 min, à la même vitesse ?

    Réponse A : 150 km

    1 h 30 = 1,5 h, donc la vitesse vaut $90 \div 1{,}5 = 60$ km/h. En 2 h 30 = 2,5 h : $60 \times 2{,}5 = 150$ km.

16. 16

    Sur le graphique d'une situation de proportionnalité, pourquoi la droite passe-t-elle toujours par l'origine du repère ?

    Réponse C : Parce que pour $x=0$, $y=k \times 0=0$ : la droite contient $(0;0)$

    La seconde grandeur vaut $k \times x$ : pour $x = 0$, on trouve $y = 0 \times k = 0$, donc le point $(0;0)$ appartient toujours à la droite.

17. 17

    Léa écrit la même proportion de quatre façons, mais l'une de ses écritures est fausse. Laquelle ?

    Réponse C : $6\%$

    $\frac{3}{5} = 0{,}6 = 60\%$, mais $6\% = 0{,}06$ : Léa a décalé la virgule d'un rang.

18. 18

    Le prix au kilogramme est constant : 3 kg de fraises coûtent 10,50 € et 4 kg coûtent 14 €. Nina n'a pas calculé le prix du kilo : elle a ajouté 10,50 € et 14 €, et annonce 24,50 € pour 7 kg. Quelle propriété lui permet de procéder ainsi ?

    Réponse C : La linéarité additive : $3+4=7$ et $10{,}50+14=24{,}50$ €

    À la somme $3 + 4 = 7$ correspond la somme des prix : $10{,}50 + 14 = 24{,}50$ €. C'est la propriété de linéarité additive.