Parallélogrammes : cas particuliers

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Dans un parallélogramme, si deux angles consécutifs ont la même mesure, chacun mesure 90°.

   Vrai

   Deux angles consécutifs sont supplémentaires : $2x = 180$ donc $x = 90$. Ce sont donc des angles droits.

2. 2

   Un rectangle est nécessairement un carré.

   Faux

   Un carré est un rectangle, mais l'inverse est faux : un rectangle de 5 cm sur 3 cm n'a pas quatre côtés de même longueur.

3. 3

   Un losange qui a un angle droit est un carré.

   Vrai

   Un losange qui a un angle droit est un parallélogramme à angle droit, donc un rectangle. Comme il est aussi un losange, c'est un carré.

4. 4

   Dans un losange, les côtés opposés sont perpendiculaires.

   Faux

   Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles, donc ils ne peuvent pas être perpendiculaires.

5. 5

   Dans un parallélogramme, si un angle mesure le triple de son angle consécutif, il mesure 135°.

   Vrai

   Les angles consécutifs sont supplémentaires : $x + 3x = 180$ donne $x = 45$. Le grand angle mesure donc $3 \times 45 = 135$°.

6. 6

   Un quadrilatère dont les deux diagonales ont la même longueur est un parallélogramme.

   Faux

   Pour être un parallélogramme, les diagonales doivent se couper en leur milieu. Avoir la même longueur ne suffit pas.

7. 7

   Dans un parallélogramme $ABCD$ dont les diagonales se coupent en $O$, le segment $[AO]$ mesure la moitié de la diagonale $[AC]$.

   Vrai

   Les diagonales se coupent en leur milieu : $O$ est le milieu de $[AC]$, donc $AO = \frac{AC}{2}$.

8. 8

   Dans un parallélogramme, deux angles opposés sont supplémentaires.

   Faux

   Ce sont les angles consécutifs qui sont supplémentaires, avec une somme de 180°. Les angles opposés ont la même mesure.

9. 9

   Un carré de 5 cm de côté et un rectangle de 6 cm sur 2 cm, juxtaposés, forment une figure d'aire 37 cm².

   Vrai

   Le carré a une aire de $5 \times 5 = 25$ cm² et le rectangle une aire de $6 \times 2 = 12$ cm². L'aire totale vaut $25 + 12 = 37$ cm².

10. 10

    Un carré de 50 cm de côté a une aire de 2,5 m².

    Faux

    50 cm = 0,5 m, donc l'aire vaut $0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25$ m², soit 2 500 cm².

11. 11

    Un rectangle de 2 m sur 50 cm a une aire de 1 m².

    Vrai

    50 cm = 0,5 m, donc l'aire vaut $2 \times 0{,}5 = 1$ m².

12. 12

    Dans un quadrilatère, deux côtés opposés de même longueur suffisent pour qu'il soit un parallélogramme.

    Faux

    Il faut aussi que ces côtés opposés soient parallèles. L'égalité des longueurs ne suffit pas.

13. 13

    Un parallélogramme et un rectangle qui ont la même base et la même hauteur ont la même aire.

    Vrai

    Dans les deux cas, l'aire vaut base × hauteur, la hauteur étant la distance perpendiculaire à la base. La forme oblique ne change pas l'aire.

14. 14

    Un rectangle de 3 m sur 40 cm a une aire de 120 m².

    Faux

    40 cm = 0,4 m, donc l'aire vaut $3 \times 0{,}4 = 1{,}2$ m². Il faut convertir les longueurs avant de multiplier.

15. 15

    Un rectangle de $1{,}2$ km sur 500 m a une aire de 600 000 m².

    Vrai

    $1{,}2$ km = 1 200 m, donc l'aire vaut $1\,200 \times 500 =$$600\,000$ m².

16. 16

    Un losange est nécessairement un carré.

    Faux

    Un carré est un losange, mais la définition du losange ne parle pas d'angle droit. Un losange n'a pas forcément d'angle droit.