Divisibilité et nombres premiers

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Le nombre 35 est un multiple de 5.

   Vrai

   $35 = 5 \times 7$ : 5 est donc un diviseur de 35.

2. 2

   Le nombre 97 est premier.

   Vrai

   Il n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7 : c’est donc un nombre premier.

3. 3

   Le nombre 1 est un nombre premier.

   Faux

   Un nombre premier a exactement deux diviseurs ; 1 n’en a qu’un, lui-même : il n’est donc pas premier.

4. 4

   Le nombre 1254 est divisible par 3.

   Vrai

   $1 + 2 + 5 + 4 = 12$, et 12 est divisible par 3 : $1254 = 3 \times 418$.

5. 5

   Le nombre 1265 est divisible par 2.

   Faux

   Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair : 1265 se termine par 5, il est divisible par 5 mais pas par 2.

6. 6

   Le nombre 12 est divisible par 9, car il est divisible par 3.

   Faux

   Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9 : ici $1 + 2 = 3$, donc 12 n’est pas divisible par 9.

7. 7

   La décomposition de 780 en facteurs premiers est $2^2 \times 3 \times 5 \times 13$.

   Vrai

   On divise 780 par 2, puis 390 par 2 ; ensuite $195 = 3 \times 5 \times 13$.

8. 8

   Le nombre 9 est un nombre premier.

   Faux

   $9 = 3 \times 3$ : 9 a un diviseur autre que 1 et lui-même, c’est donc un nombre composé.

9. 9

   Un nombre pair supérieur à 2 n’est pas premier.

   Vrai

   Étant divisible par 2, il possède un diviseur autre que 1 et lui-même : par exemple $14 = 2 \times 7$.

10. 10

    Le nombre 2470 est divisible par 10.

    Vrai

    Son chiffre des unités est 0 : $2470 = 10 \times 247$.

11. 11

    Dans le crible d’Ératosthène, on barre les nombres premiers et on garde leurs multiples.

    Faux

    On barre les multiples de 2 autres que 2, puis ceux de 3 autres que 3, et ainsi de suite : ce sont les nombres non barrés qui sont premiers.

12. 12

    Les nombres premiers compris entre 50 et 70 sont 53, 59, 61 et 67.

    Vrai

    Chacun de ces nombres n’a que 1 et lui-même pour diviseurs ; par exemple, $51 = 3 \times 17$ n’est pas premier.

13. 13

    La fraction $\frac{12}{18}$ est irréductible.

    Faux

    Le numérateur et le dénominateur ont 6 pour diviseur commun : $\frac{12}{18} =$$\frac{12 \div 6}{18 \div 6} =$$\frac{2}{3}$.

14. 14

    Le nombre 91 est premier.

    Faux

    $91 = 7 \times 13$ : 91 a un diviseur autre que 1 et lui-même, donc il n’est pas premier.

15. 15

    $\frac{60}{84} = \frac{5}{7}$.

    Vrai

    $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ et $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ : on supprime les facteurs communs $2^2 \times 3$.

16. 16

    Avec 434 roses et 620 tulipes, le fleuriste peut faire 7 bouquets identiques sans reste.

    Faux

    Le nombre de bouquets doit diviser 434 et 620 : or $620 = 7 \times 88 + 4$, donc 620 n’est pas divisible par 7.