Calcul littéral : signes et équations

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   L'opposé de $5x - 3$ est $-5x - 3$.

   Faux

   On change le signe de chaque terme : l'opposé de $5x - 3$ est $-5x + 3$.

2. 2

   La forme réduite de $3x^2 + 5x - x^2$ est $2x^2 + 5x$.

   Vrai

   $3x^2$ et $-x^2$ sont des termes semblables (même partie littérale) : $3x^2 - x^2 = 2x^2$.

3. 3

   $7(2x - 4) =$$14x - 4$.

   Faux

   La distributivité s'applique aux deux termes : $7 \times 2x - 7 \times 4 =$$14x - 28$.

4. 4

   $-3(x + 2) =$$-3x - 6$.

   Vrai

   Le facteur est négatif : chaque terme change de signe, $-3 \times x = -3x$ et $-3 \times 2 = -6$.

5. 5

   Le développement de $(x - 2)(x + 5)$ est $x^2 - 10$.

   Faux

   On développe les quatre produits : $x^2 +$$5x -$$2x -$$10 =$$x^2 + 3x - 10$ ; les termes en $x$ ne disparaissent pas.

6. 6

   $(3x - 1)(3x + 1) =$$9x^2 - 1$.

   Vrai

   C'est $(a - b)(a + b)$ avec $a = 3x$ et $b = 1$ : $(3x)^2 - 1^2 =$$9x^2 - 1$.

7. 7

   La factorisation de $9x^2 - 25$ est $(3x - 5)(3x + 5)$.

   Vrai

   $9x^2 = (3x)^2$ et $25 = 5^2$ : c'est une différence de deux carrés, $(3x + 5)(3x - 5)$.

8. 8

   La factorisation de $5x^2 - 15x$ est $5x(x - 3)$.

   Vrai

   Le facteur commun est $5x$ : $5x^2 - 15x =$$5x(x - 3)$.

9. 9

   La factorisation de $x^2 - 36$ est $(x - 6)^2$.

   Faux

   Comme $36 = 6^2$, $x^2 - 36$ est une différence de deux carrés : $x^2 - 36 =$$(x + 6)(x - 6)$.

10. 10

    $(x + 4)(x - 9) =$$x^2 - 5x - 36$.

    Vrai

    Double distributivité : $x^2 -$$9x +$$4x -$$36 =$$x^2 - 5x - 36$.

11. 11

    L'équation $x + 9 = 5x - 3$ a pour solution $x = 3$.

    Vrai

    On regroupe les termes : $9 + 3 = 5x - x$, donc $12 = 4x$ et $x = 3$. Vérification : $3 + 9 = 12$ et $5 \times 3 - 3 = 12$.

12. 12

    L'équation $-4x = 12$ a pour solution $x = 3$.

    Faux

    On divise les deux membres par $-4$ : $x = 12 \div (-4) = -3$. Vérification : $-4 \times (-3) = 12$.

13. 13

    L'équation $(3x + 1)(x - 4) =$$0$ a pour solutions $x = 3$ et $x = -4$.

    Faux

    Un produit est nul si un facteur est nul : $3x + 1 = 0$ donne $x = -\frac{1}{3}$, et $x - 4 = 0$ donne $x = 4$.

14. 14

    L'équation $x^2 = 100$ a pour unique solution $x = 9$.

    Faux

    Puisque $100 > 0$, l'équation admet deux solutions : $10$ et $-10$, car $(-10)^2 = 100$ aussi.

15. 15

    L'équation $x^2 = 7$ a deux solutions : $\sqrt{7}$ et $-\sqrt{7}$.

    Vrai

    Comme $7 > 0$, l'équation $x^2 = 7$ admet exactement deux solutions, opposées l'une de l'autre.

16. 16

    L'équation $x^2 = -9$ a pour solution $x = -3$.

    Faux

    Le carré d'un nombre est positif ou nul : $(-3)^2 = 9$. Comme $-9 < 0$, l'équation $x^2 = -9$ n'a pas de solution.

17. 17

    Le nombre qui, multiplié par 3 puis diminué de 5, donne 13, est 6.

    Vrai

    On traduit : $3x - 5 = 13$, donc $3x = 18$ et $x = 6$. Vérification : $3 \times 6 - 5 = 13$.