Raisonner avec la proportionnalité

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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1. 1

   Un prix augmente de 10 %, puis le nouveau prix baisse de 10 %. Quel est le coefficient multiplicateur global de ces deux évolutions successives ?

   Réponse C : 0,99

   On multiplie les coefficients : $1{,}1\times0{,}9=0{,}99$. Une hausse et une baisse de même taux ne se compensent pas.

2. 2

   Une fonction linéaire $g$ vérifie $g(5)=12$. Que vaut $g(2{,}5)$ ?

   Réponse A : 6

   Quand $x$ est divisé par 2, l'image aussi : $\frac{12}{2}=6$. On retrouve $a=\frac{12}{5}=2{,}4$ puis $2{,}4\times2{,}5=6$.

3. 3

   Un taxi facture 2 € de prise en charge, puis 1,50 € par kilomètre parcouru. Le prix payé est-il proportionnel à la distance parcourue ? Pourquoi ?

   Réponse C : Non, car la prise en charge de 2 € s'ajoute au prix lié aux kilomètres

   Le prix vaut $1{,}5x+2$ : à cause de la prise en charge, on ne passe pas de la distance au prix en multipliant toujours par le même nombre.

4. 4

   Une fonction linéaire $f$ vérifie $f(3)=12$. Que vaut $f(7)$ ?

   Réponse B : 28

   On cherche d'abord le coefficient : $a=\frac{12}{3}=4$, puis $f(7)=4\times7=28$.

5. 5

   Quatre droites sont tracées dans un repère. Laquelle ne peut pas représenter une fonction linéaire ?

   Réponse D : Celle qui passe par les points (0 ; 1) et (2 ; 5)

   Toute fonction linéaire vérifie $f(0)=0$ : sa droite passe par l'origine. Une droite passant par $(0;1)$ ne peut donc pas la représenter.

6. 6

   Dans un magasin, chaque article est vendu 20 % moins cher que son prix affiché. Quelle fonction linéaire donne le prix payé $f(x)$, en euros, pour un article affiché à $x$ euros ?

   Réponse A : $f(x)=0{,}8x$

   Une baisse de 20 % revient à multiplier par $0{,}8$ : le prix payé est donc $f(x)=0{,}8x$.

7. 7

   Un mobile se déplace à vitesse constante et parcourt 18 km en 20 minutes. Quelle est sa vitesse en m/s ?

   Réponse D : 15 m/s

   20 minutes représentent un tiers d'heure : $18\div\frac{1}{3}=54$ km/h, puis $\frac{54}{3{,}6}=15$, donc 15 m/s.

8. 8

   Sur une carte à l'échelle $\frac{1}{200\,000}$, deux villes distantes de 30 km dans la réalité sont séparées sur la carte de :

   Réponse B : 15 cm

   30 km $=3\,000\,000$ cm et $\frac{3\,000\,000}{200\,000}=$$15$ : les 30 km occupent 15 cm sur la carte.

9. 9

   Dans le triangle $ABC$, le point $M$ est sur $[AB]$, le point $N$ est sur $[AC]$ et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM=3$ cm, $AB=12$ cm et $MN=5$ cm. Quelle est la longueur $BC$ ?

   Réponse D : 20 cm

   D'après le théorème de Thalès, $\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}$, donc $BC=$$\frac{5\times12}{3}=$$20$ cm.

10. 10

    Deux triangles sont semblables. Le premier a pour côtés 4 cm, 6 cm et 9 cm ; le plus grand côté du second mesure 27 cm. Quelle est la longueur du plus petit côté du second ?

    Réponse B : 12 cm

    Coefficient de similitude : $\frac{27}{9}=3$. Le plus petit côté mesure donc $4\times3=12$ cm.

11. 11

    Dans un collège de 600 élèves, 60 % sont demi-pensionnaires et, parmi eux, 25 % sont en classe de 3e. Combien d'élèves de 3e sont demi-pensionnaires ?

    Réponse B : 90

    On enchaîne les pourcentages : $600\times0{,}6=360$ demi-pensionnaires, puis $360\times0{,}25=90$.

12. 12

    Une quantité passe de 500 à 250. Un élève affirme qu'elle a baissé de 50 %. Que penser de cette affirmation ?

    Réponse D : Elle est vraie : le taux vaut $\frac{250-500}{500}=$$-0{,}5$, soit une baisse de 50 %

    Le taux se calcule à partir de la valeur de départ : $\frac{250-500}{500}=$$-0{,}5$, soit exactement $-50$ %. L'élève a raison.

13. 13

    Le prix d'une maison a été multiplié par 1,6 depuis un an. Quelle baisse en pourcentage ramènerait exactement ce prix à son prix d'origine ?

    Réponse B : 37,5 %

    On divise par le coefficient multiplicateur : $\frac{1}{1{,}6}=0{,}625$, c'est-à-dire une baisse de 37,5 %, et non de 60 %.

14. 14

    Après deux baisses successives de 10 %, un vélo coûte 81 €. Quel était son prix avant ces deux baisses ?

    Réponse D : 100 €

    Deux baisses de 10 % : $0{,}9\times0{,}9=0{,}81$. Le prix de départ vérifie $0{,}81x=81$, donc $x=\frac{81}{0{,}81}=100$.

15. 15

    La distance parcourue par un mobile à vitesse constante est modélisée par $d(x)=6x$, où $x$ est le temps en secondes et $d(x)$ la distance en mètres. Un élève affirme qu'en 6 minutes, ce mobile parcourt 2,16 km. A-t-il raison ?

    Réponse A : Oui : 6 min $=360$ s et $d(360)=$$6\times360=$$2160$ m, soit 2,16 km

    6 min $=360$ s et $d(360)=$$6\times360=$$2160$ m $=2{,}16$ km : l'affirmation est exacte.

16. 16

    La droite qui représente une fonction linéaire passe par le point de coordonnées (4 ; 10). Par lequel de ces points doit-elle aussi passer ?

    Réponse C : (2 ; 5)

    Ici $a=\frac{10}{4}=2{,}5$ : la droite passe par l'origine et par $(2;5)$, car $2{,}5\times2=5$.