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Exemple : en quelle année la Bastille est-elle prise ?

Raisonner avec le calcul littéral (4e)

QCM · 17 questions Difficulté : Difficile · Mathématiques · Publié le

Programme de référence : Attendus de fin d'année en mathématiques de 4e, ressource Éduscol (programme du BO n° 31 du 30 juillet 2020)

En 4e, le calcul littéral devient un véritable outil de raisonnement. Ce quiz s'intéresse à la manière de manipuler des expressions contenant des lettres : repérer une erreur dans un calcul, reconnaître un facteur commun, développer une expression avec parenthèses, réduire une somme, puis résoudre une équation. Il aborde aussi la traduction d'un énoncé en équation, la vérification d'une solution et l'utilisation de valeurs numériques pour tester une égalité. Certaines questions demandent d'analyser une erreur ou de justifier un raisonnement ; d'autres vérifient l'application des méthodes, avec des situations concrètes comme le prix de fournitures scolaires ou des nombres entiers qui se suivent.

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Raisonner avec le calcul littéral (4e)

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17 questions

Mode de jeu

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  1. Question 1 / 17

    Un élève réduit l'expression 5x−2(x+3)5x - 2(x + 3) et écrit 3x+63x + 6. Quelle est son erreur ?

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  1. Un élève réduit l'expression 5x−2(x+3)5x - 2(x + 3) et écrit 3x+63x + 6. Quelle est son erreur ?

    Réponse B : Il a mal calculé −2×3-2 \times 3 : ce terme vaut −6-6, et non +6+6

    Le signe −- devant 22 s'applique aussi à 33 : −2(x+3)=-2(x + 3) =−2x−6-2x - 6, donc 5x−2x−6=5x - 2x - 6 =3x−63x - 6.

  2. Quel est le plus grand facteur commun aux deux termes de la somme 8x2+12x8x^2 + 12x ?

    Réponse C : 4x4x

    44 divise 88 et 1212, et xx est commun aux deux termes : 8x2=4x×2x8x^2 = 4x \times 2x et 12x=4x×312x = 4x \times 3, donc le plus grand facteur est 4x4x.

  3. Parmi ces écritures, laquelle est une factorisation de x2+4xx^2 + 4x ?

    Réponse A : x(x+4)x(x + 4)

    xx est facteur commun : x2=x×xx^2 = x \times x et 4x=4×x4x = 4 \times x, donc x2+4x=x(x+4)x^2 + 4x = x(x + 4).

  4. Un élève affirme que 3x+12=3x + 12 =3x(x+4)3x(x + 4) : il a donc factorisé 3x+123x + 12. Que faut-il en penser ?

    Réponse D : Faux : 3x(x+4)3x(x + 4) vaut 3x2+12x3x^2 + 12x, qui n'est pas égal à 3x+123x + 12

    Développé, 3x(x+4)=3x(x + 4) =3x2+12x3x^2 + 12x : une factorisation doit redonner l'expression de départ.

  5. Un élève résout 6x+1=2x−76x + 1 = 2x - 7 et écrit : 6x−2x=−7+16x - 2x = -7 + 1, soit 4x=−64x = -6, donc x=−32x = -\frac{3}{2}. Quelle est son erreur ?

    Réponse C : Il a passé le 11 dans l'autre membre en gardant le signe ++ : il fallait écrire −1-1

    En passant 11 dans le membre de droite, il devient −1-1 : 6x−2x=−7−16x - 2x = -7 - 1, soit 4x=−84x = -8, donc x=−2x = -2.

  6. Un nombre est noté xx. On lui retranche 33, puis on multiplie le résultat par 55 : on obtient 3535. Quelle équation traduit cette situation ?

    Réponse A : 5(x−3)=355(x - 3) = 35

    La multiplication porte sur le résultat de « x−3x - 3 » : la parenthèse est nécessaire pour que le 55 multiplie toute la différence.

  7. Laquelle de ces équations a pour solution −1-1 ?

    Réponse D : 3x+5=x+33x + 5 = x + 3

    Pour x=−1x = -1 : 3×(−1)+5=23 \times (-1) + 5 = 2 et −1+3=2-1 + 3 = 2, les deux membres sont égaux.

  8. Deux nombres entiers consécutifs ont pour somme 3535. En notant xx le plus petit, quelle équation traduit cette situation ?

    Réponse B : 2x+1=352x + 1 = 35

    Le suivant de xx vaut x+1x + 1 : leur somme s'écrit x+(x+1)=x + (x + 1) =2x+12x + 1, qui vaut 3535.

  9. Pour calculer 17×3+3×1317 \times 3 + 3 \times 13 sans poser l'opération, quelle écriture donne le bon résultat le plus simplement ?

    Réponse C : 3×(17+13)=903 \times (17 + 13) = 90

    Le facteur 33 est commun : 17×3+3×13=17 \times 3 + 3 \times 13 =3×(17+13)=3 \times (17 + 13) =3×30=3 \times 30 =9090.

  10. Un élève veut montrer que l'égalité 2(x+3)=2x+32(x + 3) = 2x + 3 est fausse. Pour x=1x = 1, il trouve 2(1+3)=82(1 + 3) = 8 et 2×1+3=52 \times 1 + 3 = 5. Son raisonnement est-il valable ?

    Réponse D : Oui : une seule valeur de xx pour laquelle les deux membres diffèrent suffit à montrer que l'égalité est fausse

    Un seul contre-exemple suffit : 2(x+3)=2x+62(x + 3) = 2x + 6 n'est jamais égal à 2x+32x + 3, et 8≠58 \neq 5 pour x=1x = 1.

  11. Les équations 2x+4=02x + 4 = 0 et x+2=0x + 2 = 0 ont-elles la même solution ?

    Réponse A : Oui : on passe de la première à la seconde en divisant ses deux membres par 22

    Diviser les deux membres par 22 ne change pas les solutions : 2x+4=02x + 4 = 0 devient x+2=0x + 2 = 0, qui ont donc la même solution.

  12. Quelle est la factorisation de 3(x+3(x +4)+4) +2(x+2(x +4)4) ?

    Réponse D : 5(x+4)5(x + 4)

    (x+4)(x + 4) est facteur commun : 3(x+3(x +4)+4) +2(x+2(x +4)=4) =(3+2)(x+4)=(3 + 2)(x + 4) =5(x+4)5(x + 4).

  13. Quelle est la forme réduite de 2(x+2(x +5)+5) +3(x−3(x -1)1) ?

    Réponse B : 5x+75x + 7

    2(x+5)=2x+102(x + 5) = 2x + 10 et 3(x−1)=3x−33(x - 1) = 3x - 3 : en regroupant, 2x+3x+10−3=2x + 3x + 10 - 3 =5x+75x + 7.

  14. Un élève écrit : « 4x+10=4x + 10 =4(x+10)4(x + 10) ». Quelle est son erreur ?

    Réponse A : 44 n'est pas un facteur commun à 4x4x et à 1010 : 4(x+10)4(x + 10) vaut en réalité 4x+404x + 40

    Le nombre 1010 n'est pas un multiple de 44 : 4(x+10)4(x + 10) vaut 4x+404x + 40, pas 4x+104x + 10.

  15. Pour quelle valeur de xx l'expression 2(x−3)+12(x - 3) + 1 vaut-elle 99 ?

    Réponse C : 77

    Pour x=7x = 7 : 2(7−3)+1=2(7 - 3) + 1 =2×4+1=2 \times 4 + 1 =99. On peut aussi écrire 2(x−3)=82(x - 3) = 8, puis x−3=4x - 3 = 4.

  16. Un cahier coûte xx euros et un stylo coûte 22 euros de moins qu'un cahier. Quelle expression donne le prix de 33 cahiers et de 22 stylos ?

    Réponse A : 5x−45x - 4

    Un stylo coûte x−2x - 2 : le prix total vaut 3x+2(x−2)=3x + 2(x - 2) =3x+2x−4=3x + 2x - 4 =5x−45x - 4.

  17. Un élève calcule 2x2−x2x^2 - x pour x=−3x = -3 et trouve −15-15. Quelle est son erreur ?

    Réponse C : Il a écrit x2=−9x^2 = -9 au lieu de (−3)×(−3)=9(-3) \times (-3) = 9

    Le carré d'un nombre négatif est positif : (−3)2=(-3)^2 =(−3)×(−3)=(-3) \times (-3) =99, donc 2x2−x=2x^2 - x =18+3=18 + 3 =2121.

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Raisonner avec le calcul littéral (4e)

QCM · 17 questions · niveau difficile

Nom : Date :

Une seule bonne réponse par question. Entourez la lettre de votre choix.

Questions

  1. 1

    Un élève réduit l'expression 5x−2(x+3)5x - 2(x + 3) et écrit 3x+63x + 6. Quelle est son erreur ?

    • AIl a additionné 5x5x et −2x-2x au lieu de les soustraire
    • BIl a mal calculé −2×3-2 \times 3 : ce terme vaut −6-6, et non +6+6
    • CIl ne peut pas réduire une expression qui contient des parenthèses
    • DIl a multiplié seulement le 22 par xx : la parenthèse ne se développe pas
  2. 2

    Quel est le plus grand facteur commun aux deux termes de la somme 8x2+12x8x^2 + 12x ?

    • A2x2x
    • B44
    • C4x4x
    • Dxx
  3. 3

    Parmi ces écritures, laquelle est une factorisation de x2+4xx^2 + 4x ?

    • Ax(x+4)x(x + 4)
    • B4(x2+x)4(x^2 + x)
    • Cx2(1+4x)x^2(1 + 4x)
    • D(x+4)(x+1)(x + 4)(x + 1)
  4. 4

    Un élève affirme que 3x+12=3x + 12 =3x(x+4)3x(x + 4) : il a donc factorisé 3x+123x + 12. Que faut-il en penser ?

    • AVrai : 3x3x est le facteur commun aux deux termes de la somme
    • BVrai : on peut toujours factoriser une somme par un facteur qui contient une lettre
    • CFaux : 3x+123x + 12 ne contient aucun facteur commun aux deux termes
    • DFaux : 3x(x+4)3x(x + 4) vaut 3x2+12x3x^2 + 12x, qui n'est pas égal à 3x+123x + 12
  5. 5

    Un élève résout 6x+1=2x−76x + 1 = 2x - 7 et écrit : 6x−2x=−7+16x - 2x = -7 + 1, soit 4x=−64x = -6, donc x=−32x = -\frac{3}{2}. Quelle est son erreur ?

    • AIl ne peut pas regrouper 6x6x et 2x2x dans un même membre
    • BIl a mal regroupé : il fallait écrire 6x+2x6x + 2x et non 6x−2x6x - 2x
    • CIl a passé le 11 dans l'autre membre en gardant le signe ++ : il fallait écrire −1-1
    • DIl a divisé par 44 au lieu de diviser par 22
  6. 6

    Un nombre est noté xx. On lui retranche 33, puis on multiplie le résultat par 55 : on obtient 3535. Quelle équation traduit cette situation ?

    • A5(x−3)=355(x - 3) = 35
    • B5x−3=355x - 3 = 35
    • C5(x+3)=355(x + 3) = 35
    • Dx−3×5=35x - 3 \times 5 = 35
  7. 7

    Laquelle de ces équations a pour solution −1-1 ?

    • A3x+5=x−33x + 5 = x - 3
    • B3x+3=x+53x + 3 = x + 5
    • C3x−5=x+33x - 5 = x + 3
    • D3x+5=x+33x + 5 = x + 3
  8. 8

    Deux nombres entiers consécutifs ont pour somme 3535. En notant xx le plus petit, quelle équation traduit cette situation ?

    • Ax+1=35x + 1 = 35
    • B2x+1=352x + 1 = 35
    • C2(x+1)=352(x + 1) = 35
    • D2x=35+12x = 35 + 1
  9. 9

    Pour calculer 17×3+3×1317 \times 3 + 3 \times 13 sans poser l'opération, quelle écriture donne le bon résultat le plus simplement ?

    • A3×17+13=643 \times 17 + 13 = 64
    • B(17+(17 +3)×3) \times(3+(3 +13)=13) =320320
    • C3×(17+13)=903 \times (17 + 13) = 90
    • D17×3×13=66317 \times 3 \times 13 = 663
  10. 10

    Un élève veut montrer que l'égalité 2(x+3)=2x+32(x + 3) = 2x + 3 est fausse. Pour x=1x = 1, il trouve 2(1+3)=82(1 + 3) = 8 et 2×1+3=52 \times 1 + 3 = 5. Son raisonnement est-il valable ?

    • ANon : il faut vérifier toutes les valeurs possibles de xx avant de conclure
    • BNon : l'égalité est vraie, car les deux membres contiennent le même nombre 22 et le même xx
    • COui, mais seulement si la valeur testée est un nombre entier
    • DOui : une seule valeur de xx pour laquelle les deux membres diffèrent suffit à montrer que l'égalité est fausse
  11. 11

    Les équations 2x+4=02x + 4 = 0 et x+2=0x + 2 = 0 ont-elles la même solution ?

    • AOui : on passe de la première à la seconde en divisant ses deux membres par 22
    • BNon : la première a pour solution −4-4, car 2x=−42x = -4
    • CNon : les deux équations n'ont pas le même coefficient devant xx
    • DOui : on passe de la première à la seconde en ajoutant 44 aux deux membres
  12. 12

    Quelle est la factorisation de 3(x+3(x +4)+4) +2(x+2(x +4)4) ?

    • A5(x+8)5(x + 8)
    • B6(x+4)6(x + 4)
    • C5x+45x + 4
    • D5(x+4)5(x + 4)
  13. 13

    Quelle est la forme réduite de 2(x+2(x +5)+5) +3(x−3(x -1)1) ?

    • A5x+135x + 13
    • B5x+75x + 7
    • C5x−35x - 3
    • D5x+95x + 9
  14. 14

    Un élève écrit : « 4x+10=4x + 10 =4(x+10)4(x + 10) ». Quelle est son erreur ?

    • A44 n'est pas un facteur commun à 4x4x et à 1010 : 4(x+10)4(x + 10) vaut en réalité 4x+404x + 40
    • BIl a confondu somme et produit : 4x+104x + 10 est un produit
    • CIl a oublié que la multiplication est prioritaire sur l'addition
    • DIl n'a pas le droit de factoriser une somme dont un terme contient une lettre
  15. 15

    Pour quelle valeur de xx l'expression 2(x−3)+12(x - 3) + 1 vaut-elle 99 ?

    • A1111
    • B88
    • C77
    • D55
  16. 16

    Un cahier coûte xx euros et un stylo coûte 22 euros de moins qu'un cahier. Quelle expression donne le prix de 33 cahiers et de 22 stylos ?

    • A5x−45x - 4
    • B5x−25x - 2
    • C5(x−2)5(x - 2)
    • D5x+45x + 4
  17. 17

    Un élève calcule 2x2−x2x^2 - x pour x=−3x = -3 et trouve −15-15. Quelle est son erreur ?

    • AIl a multiplié −3-3 par 22 au lieu de multiplier (−3)2(-3)^2 par 22
    • BIl a oublié le signe −- devant xx
    • CIl a écrit x2=−9x^2 = -9 au lieu de (−3)×(−3)=9(-3) \times (-3) = 9
    • DIl ne peut pas remplacer xx par un nombre négatif dans une expression avec une puissance

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Corrigé et explications

Raisonner avec le calcul littéral (4e)

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

  1. 1

    B · Il a mal calculé −2×3-2 \times 3 : ce terme vaut −6-6, et non +6+6

    Le signe −- devant 22 s'applique aussi à 33 : −2(x+3)=-2(x + 3) =−2x−6-2x - 6, donc 5x−2x−6=5x - 2x - 6 =3x−63x - 6.

  2. 2

    C · 4x4x

    44 divise 88 et 1212, et xx est commun aux deux termes : 8x2=4x×2x8x^2 = 4x \times 2x et 12x=4x×312x = 4x \times 3, donc le plus grand facteur est 4x4x.

  3. 3

    A · x(x+4)x(x + 4)

    xx est facteur commun : x2=x×xx^2 = x \times x et 4x=4×x4x = 4 \times x, donc x2+4x=x(x+4)x^2 + 4x = x(x + 4).

  4. 4

    D · Faux : 3x(x+4)3x(x + 4) vaut 3x2+12x3x^2 + 12x, qui n'est pas égal à 3x+123x + 12

    Développé, 3x(x+4)=3x(x + 4) =3x2+12x3x^2 + 12x : une factorisation doit redonner l'expression de départ.

  5. 5

    C · Il a passé le 11 dans l'autre membre en gardant le signe ++ : il fallait écrire −1-1

    En passant 11 dans le membre de droite, il devient −1-1 : 6x−2x=−7−16x - 2x = -7 - 1, soit 4x=−84x = -8, donc x=−2x = -2.

  6. 6

    A · 5(x−3)=355(x - 3) = 35

    La multiplication porte sur le résultat de « x−3x - 3 » : la parenthèse est nécessaire pour que le 55 multiplie toute la différence.

  7. 7

    D · 3x+5=x+33x + 5 = x + 3

    Pour x=−1x = -1 : 3×(−1)+5=23 \times (-1) + 5 = 2 et −1+3=2-1 + 3 = 2, les deux membres sont égaux.

  8. 8

    B · 2x+1=352x + 1 = 35

    Le suivant de xx vaut x+1x + 1 : leur somme s'écrit x+(x+1)=x + (x + 1) =2x+12x + 1, qui vaut 3535.

  9. 9

    C · 3×(17+13)=903 \times (17 + 13) = 90

    Le facteur 33 est commun : 17×3+3×13=17 \times 3 + 3 \times 13 =3×(17+13)=3 \times (17 + 13) =3×30=3 \times 30 =9090.

  10. 10

    D · Oui : une seule valeur de xx pour laquelle les deux membres diffèrent suffit à montrer que l'égalité est fausse

    Un seul contre-exemple suffit : 2(x+3)=2x+62(x + 3) = 2x + 6 n'est jamais égal à 2x+32x + 3, et 8≠58 \neq 5 pour x=1x = 1.

  11. 11

    A · Oui : on passe de la première à la seconde en divisant ses deux membres par 22

    Diviser les deux membres par 22 ne change pas les solutions : 2x+4=02x + 4 = 0 devient x+2=0x + 2 = 0, qui ont donc la même solution.

  12. 12

    D · 5(x+4)5(x + 4)

    (x+4)(x + 4) est facteur commun : 3(x+3(x +4)+4) +2(x+2(x +4)=4) =(3+2)(x+4)=(3 + 2)(x + 4) =5(x+4)5(x + 4).

  13. 13

    B · 5x+75x + 7

    2(x+5)=2x+102(x + 5) = 2x + 10 et 3(x−1)=3x−33(x - 1) = 3x - 3 : en regroupant, 2x+3x+10−3=2x + 3x + 10 - 3 =5x+75x + 7.

  14. 14

    A · 44 n'est pas un facteur commun à 4x4x et à 1010 : 4(x+10)4(x + 10) vaut en réalité 4x+404x + 40

    Le nombre 1010 n'est pas un multiple de 44 : 4(x+10)4(x + 10) vaut 4x+404x + 40, pas 4x+104x + 10.

  15. 15

    C · 77

    Pour x=7x = 7 : 2(7−3)+1=2(7 - 3) + 1 =2×4+1=2 \times 4 + 1 =99. On peut aussi écrire 2(x−3)=82(x - 3) = 8, puis x−3=4x - 3 = 4.

  16. 16

    A · 5x−45x - 4

    Un stylo coûte x−2x - 2 : le prix total vaut 3x+2(x−2)=3x + 2(x - 2) =3x+2x−4=3x + 2x - 4 =5x−45x - 4.

  17. 17

    C · Il a écrit x2=−9x^2 = -9 au lieu de (−3)×(−3)=9(-3) \times (-3) = 9

    Le carré d'un nombre négatif est positif : (−3)2=(-3)^2 =(−3)×(−3)=(-3) \times (-3) =99, donc 2x2−x=2x^2 - x =18+3=18 + 3 =2121.

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