Géométrie plane : Pythagore et translation

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, si $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm, alors $BC = 5$ cm.

   Vrai

   Le théorème de Pythagore donne $BC^2 =$$3^2 + 4^2 =$$9 + 16 =$$25$, donc $BC = 5$ cm, car $5^2 = 25$.

2. 2

   Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, si $BC = 17$ cm et $AB = 8$ cm, alors $AC = 9$ cm.

   Faux

   On soustrait les carrés, pas les longueurs : $AC^2 =$$17^2 - 8^2 =$$289 - 64 =$$225$, donc $AC = 15$ cm.

3. 3

   Par une translation, un segment $[AB]$ de 4 cm a pour image un segment $[A'B']$ de 4 cm.

   Vrai

   Une translation conserve les longueurs : la distance entre $A'$ et $B'$ est la même qu’entre $A$ et $B$.

4. 4

   Une échelle de 13 m posée à 5 m du mur forme avec le sol un angle d’environ 38°.

   Faux

   Un cosinus n’est pas un angle : on retrouve l’angle avec la touche $\cos^{-1}$ de la calculatrice, et l’angle vaut environ 67°.

5. 5

   Deux triangles dont les trois côtés ont deux à deux la même longueur sont égaux.

   Vrai

   C’est le cas côté-côté-côté : les deux triangles se superposent exactement l’un sur l’autre.

6. 6

   Un triangle dont les côtés mesurent 4 cm, 5 cm et 6 cm est rectangle.

   Faux

   Avec le plus long côté, $6^2 = 36$, alors que $4^2 + 5^2 =$$16 + 25 =$$41$ : l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée.

7. 7

   Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ avec $BC = 10$ cm et $AB = 8$ cm, on a $\cos(\widehat{B}) = 0{,}8$.

   Vrai

   Le côté adjacent à $\widehat{B}$ est $AB$ et l’hypoténuse est $BC$ : $\cos(\widehat{B}) =$$\frac{8}{10} =$$0{,}8$.

8. 8

   Une translation peut faire tourner une figure autour d’un point.

   Faux

   Une translation fait glisser la figure, sans la tourner ni la retourner.

9. 9

   Un protocole de construction est une liste ordonnée d’étapes permettant de reproduire une figure avec des instruments de géométrie.

   Vrai

   Les étapes s’enchaînent dans un ordre précis, pour que la figure puisse être refaite à l’identique.

10. 10

    Le théorème de Pythagore peut servir à calculer un côté dans n’importe quel triangle.

    Faux

    Il ne s’applique qu’à un triangle rectangle ; pour les autres triangles, il ne donne pas de résultat juste.

11. 11

    Si $M$ appartient à $[AB]$, $N$ appartient à $[AC]$ et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, alors $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$.

    Vrai

    C’est le théorème de Thalès : avec des droites parallèles, les côtés correspondants des triangles emboîtés sont proportionnels.

12. 12

    Deux triangles qui ont deux angles respectivement égaux sont égaux.

    Faux

    Deux angles égaux ne suffisent pas : il faut aussi un côté de même longueur, adjacent aux deux angles (cas angle-côté-angle).

13. 13

    Une frise peut être obtenue en reproduisant un même motif à l’identique par translations successives.

    Vrai

    Chaque motif est l’image du précédent par une translation : la frise est une suite de motifs identiques, décalés.

14. 14

    Le triangle $RST$, avec $RS = 42$ cm, $TR = 40$ cm et $ST = 58$ cm, est rectangle en $R$.

    Vrai

    $42^2 + 40^2 =$$1764 + 1600 =$$3364 =$$58^2$ : la réciproque du théorème de Pythagore confirme que le triangle est rectangle en $R$.

15. 15

    Dans un triangle dont deux angles mesurent 50° et 60°, le troisième angle mesure 80°.

    Faux

    $50^\circ + 60^\circ = 110^\circ$, et $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ : la somme des angles d’un triangle vaut $180^\circ$.

16. 16

    L’image d’une droite par une translation est une droite perpendiculaire à la droite de départ.

    Faux

    Une translation conserve la direction : l’image d’une droite lui est parallèle.

17. 17

    Une échelle de 13 m posée à 5 m du mur forme avec le sol un angle dont le cosinus vaut $\frac{5}{13}$.

    Vrai

    Au pied de l’échelle, le côté adjacent est la distance au mur, 5 m, et l’échelle est l’hypoténuse, 13 m.

18. 18

    Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le côté opposé à cet angle, divisé par l’hypoténuse.

    Faux

    C’est le côté adjacent à l’angle, et non le côté opposé, qui est divisé par l’hypoténuse.