Problèmes de proportionnalité (3e)

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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1. 1

   Un mobile se déplace à vitesse constante de 5 m/s. Quelle expression donne la distance $d(x)$ parcourue, en mètres, après $x$ secondes ?

   Réponse B : $d(x)=5x$

   Le mobile avance de 5 m à chaque seconde : la distance est proportionnelle au temps, donc $d(x)=5x$.

2. 2

   Parmi les fonctions suivantes, laquelle est linéaire ?

   Réponse D : $f(x)=\frac{x}{4}$

   Une fonction linéaire s’écrit $f(x)=ax$, donc $f(0)=0$ : $\frac{x}{4}=\frac{1}{4}x$ convient, pas les trois autres.

3. 3

   Une fonction linéaire $f$ vérifie $f(5)=30$. Que vaut $f(10)$ ?

   Réponse C : 60

   Quand $x$ est multiplié par 2, $f(x)$ est aussi multiplié par 2 : $f(10)=$$2 \times 30=$$60$.

4. 4

   Cinq roses coûtent 7,50 €. Quelle fonction linéaire donne le prix $f(x)$, en euros, de $x$ roses ?

   Réponse B : $f(x)=1{,}5x$

   Le prix est proportionnel au nombre de roses : le coefficient est $\frac{7{,}5}{5}=1{,}5$, donc $f(x)=1{,}5x$.

5. 5

   Pour 4 personnes, une recette demande 10 cl de crème. Quelle quantité de crème faut-il pour 6 personnes ?

   Réponse B : 15 cl

   Les quantités sont proportionnelles au nombre de personnes : $\frac{10}{4}=2{,}5$ cl par personne, et $6 \times 2{,}5=15$ cl.

6. 6

   Dans un tableau de proportionnalité, la première ligne contient 6 puis 21, et la deuxième ligne contient 8 puis $x$. Que vaut $x$ ?

   Réponse C : 28

   Les produits en croix sont égaux : $6 \times x =$$8 \times 21 =$$168$, donc $x = 168 \div 6 = 28$.

7. 7

   Le prix d’un abonnement de 340 € augmente de 5 %. Quel est le nouveau prix ?

   Réponse D : 357 €

   Augmenter de 5 % revient à multiplier par $1+\frac{5}{100}=1{,}05$ : $340 \times 1{,}05=357$ €.

8. 8

   Un manteau coûte 90 € en début de saison. Pendant les soldes, il baisse de 20 %. Quel est son nouveau prix ?

   Réponse A : 72 €

   Diminuer de 20 % revient à multiplier par $1-\frac{20}{100}=0{,}8$ : $90 \times 0{,}8=72$ €.

9. 9

   Le nombre d’abonnés d’une chaîne passe de 50 à 70. Quel est le pourcentage d’évolution de ce nombre ?

   Réponse C : +40 %

   Le taux d’évolution vaut $\frac{70-50}{50}=$$\frac{20}{50}=$$0{,}4$, soit une hausse de 40 %.

10. 10

    Le prix d’un service passe de 40 € à 52 €. Quel est le coefficient multiplicateur de cette évolution ?

    Réponse A : 1,3

    Le coefficient multiplicateur est $\frac{52}{40}=1{,}3$ ; le taux d’évolution, $1{,}3-1=0{,}3$, correspond à une hausse de 30 %.

11. 11

    Après une hausse de 10 %, un prix atteint 165 €. Quel était le prix avant cette hausse ?

    Réponse B : 150 €

    Une hausse de 10 % correspond au coefficient $1{,}1$ : le prix de départ vaut $\frac{165}{1{,}1}=150$ €.

12. 12

    Le prix d’un bien augmente de 20 %, puis augmente encore de 5 % l’année suivante. Quelle est l’évolution globale du prix sur les deux années ?

    Réponse D : +26 %

    Les coefficients multiplicateurs se multiplient : $1{,}2 \times 1{,}05=1{,}26$, soit une hausse globale de 26 %.

13. 13

    Un prix de 120 € augmente de 50 %, puis baisse de 50 %. Par rapport au prix de départ, que constate-t-on ?

    Réponse A : Le prix a baissé de 25 %

    Après la hausse, le prix vaut 180 € ; la baisse de 50 % donne $180 \times 0{,}5=90$ €, soit une baisse de 25 % par rapport à 120 €.

14. 14

    Dans le triangle $ABC$, le point $M$ est sur le segment $[AB]$ et le point $N$ sur le segment $[AC]$, avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$. On donne $AM=4$ cm, $AB=10$ cm et $AC=15$ cm. Quelle est la longueur $AN$ ?

    Réponse B : 6 cm

    Thalès donne $\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}$, donc $AN=$$\frac{15 \times 4}{10}=$$6$ cm.

15. 15

    Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$, avec $AM=2$ cm, $AB=5$ cm, $AN=4$ cm et $AC=10$ cm. Que peut-on conclure pour les droites $(MN)$ et $(BC)$ ?

    Réponse A : Elles sont parallèles, car $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$

    Les rapports sont égaux : $\frac{2}{5}=\frac{4}{10}$. D’après la réciproque de Thalès, $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

16. 16

    Une réduction de rapport $\frac{1}{4}$ transforme un segment de 48 cm en un segment de quelle longueur ?

    Réponse C : 12 cm

    Dans une réduction de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $k$ : $48 \times \frac{1}{4}=12$ cm.

17. 17

    Un rectangle mesure 4 cm sur 5 cm. On l’agrandit avec un rapport de 2. Quelle est l’aire du rectangle obtenu ?

    Réponse D : 80 cm²

    Les aires sont multipliées par $k^2=4$ : l’aire passe de $4 \times 5=20$ cm² à $20 \times 4=80$ cm².

18. 18

    Un triangle a pour côtés 7 cm, 24 cm et 25 cm. Un triangle semblable à celui-ci a pour plus grand côté 12,5 cm. Quel est le périmètre de ce second triangle ?

    Réponse D : 28 cm

    Le premier triangle a pour périmètre $7+24+25=56$ cm ; le rapport $\frac{12{,}5}{25}=\frac{1}{2}$ multiplie le périmètre : $56 \times \frac{1}{2}=28$ cm.