Démontrer avec la géométrie plane (3e)

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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1. 1

   Dans une configuration papillon de sommet $A$ (le point $A$ est entre $B$ et $D$, et entre $C$ et $E$), avec $(BC)\parallel(DE)$, on donne $AB = 4$ cm, $AD = 10$ cm et $BC = 6$ cm. Quelle est la longueur $DE$ ?

   Réponse C : 15 cm

   Thalès donne $\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$, donc $DE=$$BC\times\frac{AD}{AB}=$$6\times\frac{10}{4}=$$15$ cm.

2. 2

   Dans une configuration papillon de sommet $A$ (le point $A$ est entre $B$ et $D$, et entre $C$ et $E$), avec $(BC)\parallel(DE)$, on donne $AB = 6$ cm, $AD = 15$ cm et $AC = 4$ cm. Quelle est la longueur $AE$ ?

   Réponse A : 10 cm

   D’après Thalès, les longueurs issues de $A$ sont multipliées par le même coefficient : $\frac{AD}{AB}=$$\frac{15}{6}=$$2{,}5$. Donc $AE=$$AC\times 2{,}5=$$4\times 2{,}5=$$10$ cm.

3. 3

   Dans une configuration papillon de sommet $A$ (le point $A$ est entre $B$ et $D$, et entre $C$ et $E$), on veut démontrer que $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles. Quelle égalité faut-il vérifier ?

   Réponse D : $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$

   Pour démontrer un parallélisme, on utilise la réciproque de Thalès, qui compare les rapports issus de $A$ : on vérifie $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$, les points étant alignés dans le même ordre.

4. 4

   Dans une configuration papillon, avant d’écrire l’égalité $\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$, que faut-il d’abord établir ?

   Réponse B : Que les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles

   Le théorème de Thalès ne s’applique qu’à des droites parallèles : il faut donc justifier ce parallélisme avant d’écrire les rapports.

5. 5

   Deux triangles ont leurs angles égaux deux à deux. Que peut-on affirmer de leurs côtés correspondants ?

   Réponse C : Leurs côtés correspondants sont proportionnels

   Ces triangles sont semblables : leurs côtés correspondants sont proportionnels, sans être forcément égaux.

6. 6

   Un triangle a pour côtés 5 cm, 7 cm et 9 cm. On l’agrandit avec un rapport 4. Quel est le périmètre du triangle obtenu ?

   Réponse A : 84 cm

   Chaque côté est multiplié par $4$ : $20$ cm, $28$ cm et $36$ cm. Le périmètre vaut donc $20+28+36=84$ cm.

7. 7

   Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on donne $AB = 4$ cm, $AC = 3$ cm et $BC = 5$ cm. Que vaut $\cos\widehat{B}$ ?

   Réponse B : $\frac{4}{5}$

   Le cosinus est le quotient du côté adjacent par l’hypoténuse : $\cos\widehat{B}=$$\frac{AB}{BC}=$$\frac{4}{5}$.

8. 8

   Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on donne $\widehat{B}=60^\circ$ et $BC = 12$ cm. Quelle est la longueur $AB$ ?

   Réponse D : 6 cm

   Le côté $AB$ est adjacent à $\widehat{B}$ et $BC$ est l’hypoténuse : $AB=$$BC\times\cos\widehat{B}=$$12\times 0{,}5=$$6$ cm.

9. 9

   Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on donne $AB = 5$ cm, $AC = 12$ cm et $BC = 13$ cm. Que vaut $\tan\widehat{B}$ ?

   Réponse C : $\frac{12}{5}$

   La tangente est le quotient du côté opposé par le côté adjacent : $\tan\widehat{B}=$$\frac{AC}{AB}=$$\frac{12}{5}$.

10. 10

    Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu $\widehat{B}$ vaut $0{,}6$. Quelle est la mesure de $\widehat{B}$, arrondie au degré près ?

    Réponse A : $53^\circ$

    À la calculatrice, $\cos^{-1}(0{,}6)\approx$$53{,}1^\circ$ : arrondie au degré près, la mesure est $53^\circ$.

11. 11

    Une homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$ transforme $M$ en $M'$. Si $OM = 3$ cm, quelle est la longueur $OM'$ ?

    Réponse B : 6 cm

    La longueur est multipliée par la valeur absolue du rapport : $OM'=$$|-2|\times 3=$$2\times 3=$$6$ cm.

12. 12

    Une homothétie de centre $O$ et de rapport $-0{,}5$ transforme $M$ en $M'$, avec $M\neq O$. Quelle affirmation est vraie ?

    Réponse D : $M'$ est de l’autre côté de $O$ par rapport à $M$, et $OM'=\frac{1}{2}\times OM$

    Un rapport négatif place $M'$ de l’autre côté de $O$ ; comme $|-0{,}5|=\frac{1}{2}$, la distance $OM'$ vaut la moitié de $OM$.

13. 13

    Un carré de côté 5 cm est agrandi avec un rapport 3. Quelle est l’aire du carré obtenu ?

    Réponse C : 225 cm²

    Les longueurs sont multipliées par $3$, mais les aires par $3^2=9$ : $25\times 9=225$ cm².

14. 14

    Dans une configuration papillon de sommet $A$ (le point $A$ est entre $B$ et $D$, et entre $C$ et $E$), on donne $AB = 6$ cm et $AD = 4$ cm. Le triangle $ADE$ est l’image du triangle $ABC$ par une homothétie de centre $A$. Quel est le rapport de cette homothétie ?

    Réponse A : $-\frac{2}{3}$

    Les points $B$ et $D$ sont de part et d’autre de $A$, donc le rapport est négatif : $-\frac{AD}{AB}=$$-\frac{4}{6}=$$-\frac{2}{3}$.

15. 15

    Lorsqu’une rotation transforme une figure, que conserve-t-elle ?

    Réponse B : Les longueurs et les mesures des angles

    Une rotation ne change ni les longueurs ni les mesures des angles : seule la position de la figure change.

16. 16

    On effectue six rotations successives de centre $A$ et d’angle $60^\circ$, toujours dans le même sens, sur une figure. Que se passe-t-il ?

    Réponse D : La figure revient à sa position de départ

    Six rotations de $60^\circ$ totalisent $6\times 60^\circ=360^\circ$ : un tour complet, donc la figure revient à sa place.

17. 17

    Qu’est-ce qu’un pavage ?

    Réponse C : Un recouvrement du plan par des motifs identiques, sans trou ni chevauchement

    Un pavage couvre le plan sans trou ni chevauchement ; la bande à motif répété par translation est une frise.