Distances et raisonnements (6e)

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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1. 1

   Sur une figure, un segment est codé par trois petits traits. Un élève conclut qu'il mesure 3 cm. Que lui répondre ?

   Réponse B : Les traits indiquent seulement que ce segment a la même longueur que d'autres

   Un même nombre de petits traits code des longueurs égales : il ne donne jamais la mesure, qui doit être écrite à part, comme $AB = 5$ cm.

2. 2

   Trois points vérifient $AB = 7$ cm, $AC = 4$ cm et $CB = 5$ cm. Que peut-on conclure ?

   Réponse D : Les points A, B et C ne sont pas alignés

   Si les trois points étaient alignés, l'une des distances serait la somme des deux autres ; or $4 + 5 = 9 \neq 7$, $4 + 7 = 11 \neq 5$ et $5 + 7 = 12 \neq 4$ : les points A, B et C ne sont pas alignés.

3. 3

   Un point M vérifie $AM = 5$ cm et $MB = 7$ cm, avec $AB = 12$ cm. Où se trouve M ?

   Réponse B : Sur le segment $[AB]$

   $AM + MB =$$5 + 7 =$$12 =$$AB$ : M est sur le trajet direct, donc sur le segment $[AB]$ ; il n'en est pas le milieu car $AM \neq MB$.

4. 4

   On sait que $AB = 6$ cm et $CB = 2$ cm. Quel est le plus petit nombre de centimètres que peut mesurer $AC$ ?

   Réponse C : 4 cm

   Pour tout point C, $AC + CB \geqslant AB$, donc $AC \geqslant 6 - 2 = 4$ : la plus petite valeur possible de $AC$ est 4 cm.

5. 5

   Lequel de ces triplets de longueurs peut être celui d'un triangle $ABC$ ?

   Réponse A : $AB = 5$ cm, $AC = 3$ cm et $CB = 4$ cm

   Pour un triangle, le plus grand côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres : $5 < 3 + 4$. En B et D, $5$ égale la somme des deux autres ; en C, $5 > 2 + 2$. Seul A convient.

6. 6

   On sait que $AB = 7$ cm. Que vaut $BA + AA$ ?

   Réponse C : 7 cm

   La distance ne dépend pas de l'ordre des points : $BA = AB = 7$ cm ; et $AA = 0$ cm. Donc $BA + AA = 7$ cm.

7. 7

   M est le milieu de $[AB]$ et N est le milieu de $[MB]$, avec $AB = 8{,}4$ cm. Que vaut $AN$ ?

   Réponse A : $6{,}3$ cm

   $AM =$$MB =$$8{,}4 \div 2 =$$4{,}2$ cm ; $MN = 4{,}2 \div 2 = 2{,}1$ cm ; donc $AN =$$8{,}4 - 2{,}1 =$$6{,}3$ cm.

8. 8

   Sur une figure, l'angle $\widehat{xOy}$ porte un arc et mesure $35^\circ$. L'angle $\widehat{uPv}$ porte aussi un arc. Que peut-on affirmer ?

   Réponse D : Il mesure $35^\circ$

   Deux angles codés par le même nombre d'arcs ont la même mesure : $\widehat{uPv}$ mesure $35^\circ$, comme $\widehat{xOy}$.

9. 9

   Pourquoi la médiatrice d'un segment $[AB]$ est-elle un axe de symétrie de ce segment ?

   Réponse C : Parce qu'elle est perpendiculaire au segment et passe par son milieu

   En pliant le long de la médiatrice, A se superpose à B : elle est perpendiculaire à $[AB]$ et passe par son milieu.

10. 10

    Un élève affirme : « Le segment $[AB]$ a un seul axe de symétrie : sa médiatrice ». Quelle est son erreur ?

    Réponse B : Il oublie la droite $(AB)$, qui est aussi un axe de symétrie

    Plier le long de la droite $(AB)$ superpose le segment à lui-même : $[AB]$ possède deux axes, la droite $(AB)$ et sa médiatrice.

11. 11

    $ABCD$ est un rectangle avec $AB = 7$ cm et $BC = 3$ cm. Que vaut $CD + DA$ ?

    Réponse B : 10 cm

    Les côtés opposés d'un rectangle ont la même longueur : $CD = AB = 7$ cm et $DA = BC = 3$ cm, d'où $CD + DA = 10$ cm.

12. 12

    Léa raisonne : « Un carré est un rectangle particulier, donc il a autant d'axes de symétrie que n'importe quel rectangle ». Où se trompe-t-elle ?

    Réponse D : Un carré a 4 axes de symétrie, un rectangle qui n'est pas un carré n'en a que 2

    Un carré est bien un rectangle, mais ses 4 côtés égaux lui donnent 4 axes de symétrie, contre 2 pour un rectangle qui n'est pas un carré.

13. 13

    Un triangle équilatéral est-il aussi un triangle isocèle ?

    Réponse A : Oui, car un triangle isocèle a au moins deux côtés de même longueur

    Un triangle isocèle a au moins deux côtés de même longueur : l'équilatéral, qui a les trois côtés égaux, est donc aussi isocèle.

14. 14

    Sur une figure, les trois côtés d'un triangle portent chacun le même nombre de petits traits. Que peut-on en déduire ?

    Réponse B : C'est un triangle équilatéral, avec 3 axes de symétrie

    Le même nombre de traits signale des longueurs égales : les 3 côtés sont égaux, le triangle est équilatéral.

15. 15

    Un quadrilatère a ses quatre angles codés par un petit carré et ses quatre côtés par un même nombre de traits. Que peut-on affirmer ?

    Réponse C : C'est un carré

    Un petit carré code un angle droit et un même codage une même longueur : 4 angles droits et 4 côtés égaux, c'est un carré.

16. 16

    Deux droites sécantes forment un angle droit. Comment les nomme-t-on et que valent les trois autres angles ?

    Réponse A : Elles sont perpendiculaires et les trois autres angles sont droits aussi

    Deux droites qui forment un angle droit sont perpendiculaires ; un angle droit mesurant $90^\circ$, les quatre angles formés sont droits.

17. 17

    L'aiguille des minutes d'une horloge tourne d'un quart de tour. Combien de temps s'est-il écoulé ?

    Réponse C : 15 minutes

    Un tour complet dure 60 minutes ; un quart de tour dure $60 \div 4 = 15$ minutes. Un quart de tour correspond à un angle droit.

18. 18

    M est le milieu d'un segment de $1{,}5$ m. Que vaut $AM$ en centimètres ?

    Réponse A : 75 cm

    $1{,}5$ m $= 150$ cm, et le milieu partage le segment en deux : $AM = 150 \div 2 = 75$ cm.