Géométrie plane : démontrer : abécédaire (4e)

Partie de cercle tracée au compas, de centre donné ; dans la construction d’un triangle, deux de ces tracés se coupent en un point qui peut être le troisième sommet.

Pour construire un triangle ABC avec AB = 5 cm, AC = 4 cm et BC = 3 cm, on trace [AB], puis l’arc de centre A et de rayon 4 cm et celui de centre B et de rayon 3 cm : C est l’un des deux points d’intersection de ces arcs, on en choisit un.

Dans un triangle rectangle, quotient du côté adjacent d’un angle aigu par le plus long côté du triangle.

Dans un triangle ABC rectangle en A avec BC = 10 cm et AB = 8 cm, le cosinus de l’angle B vaut 8 ÷ 10 = 0,8 : le côté adjacent divisé par l’hypoténuse.

Dans un parallélogramme, segments qui relient deux sommets opposés.

Le parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, et ses côtés opposés ont la même longueur : si AB = 7 cm et BC = 4 cm, alors CD = 7 cm et DA = 4 cm.

Propriété de deux triangles qu’on peut superposer exactement l’un sur l’autre.

Deux triangles égaux ont leurs côtés et leurs angles correspondants de même longueur ou de même mesure ; trois côtés deux à deux de même longueur suffisent déjà à établir cette égalité.

Bande décorée où un même motif est reproduit à l’identique, encore et encore.

Le motif y est reproduit à l’identique par translations successives, un déplacement qui fait glisser la figure sans la tourner ni la retourner.

Dans un triangle rectangle, côté opposé à l’angle droit ; c’est aussi le plus long côté du triangle.

Si un triangle rectangle a des côtés de l’angle droit de 3 cm et 4 cm, son hypoténuse mesure 5 cm, car 3² + 4² = 25 = 5².

Point ou figure obtenu après une translation ; au point A correspond le point A’.

Une translation conserve les longueurs : si A’ et B’ sont les images de A et B, alors A’B’ = AB ; par exemple, AB = 4 cm donne A’B’ = 4 cm.

Mesure d’un segment ; une translation conserve celle des côtés d’une figure.

Le compas permet de reporter une longueur : dans la construction du triangle ABC, on reporte 4 cm à partir du point A.

Point qui partage un segment en deux parties égales.

Dans un parallélogramme, les deux diagonales se coupent en leur milieu : c’est une propriété de cette figure, comme ses côtés opposés parallèles deux à deux.

Manière dont les points A, M, B, puis A, N, C, sont rangés sur leurs droites : ils doivent être alignés de la même façon pour appliquer un théorème.

Avant d’écrire AM/AB = AN/AC = MN/BC, il faut que les points soient alignés dans le même ordre et que (MN) soit parallèle à (BC).

Théorème qui, dans un triangle ABC rectangle en A, donne BC² = AB² + AC².

Il ne s’applique que dans un triangle rectangle : pour calculer un côté de l’angle droit, AC² = BC² − AB² ; si BC = 13 m et AB = 5 m, alors AC = 12 m, car 13² − 5² = 144 = 12².

Figure à quatre côtés ; le parallélogramme en est un, avec des côtés opposés parallèles deux à deux.

Le parallélogramme en est l’exemple principal : ses côtés opposés sont parallèles deux à deux et ont la même longueur ; si AB = 7 cm et BC = 4 cm, alors CD = 7 cm et DA = 4 cm.

Théorème qui permet de prouver qu’un triangle est rectangle : si BC² = AB² + AC², alors le triangle ABC est rectangle en A.

Dans le triangle RST avec RS = 42 cm, TR = 40 cm et ST = 58 cm, on a 42² + 40² = 58² : le triangle est donc rectangle en R.

Dans tout triangle, elle vaut 180° : si deux mesures sont 50° et 60°, la troisième est 70°.

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut 90° ; avec l’angle droit, la somme des trois angles fait 180°.

Si M appartient à [AB], N appartient à [AC] et (MN) est parallèle à (BC), alors AM/AB = AN/AC = MN/BC.

Avec AM = 2 cm, AB = 5 cm et AN = 4 cm, on trouve AC = AN × AB ÷ AM = 4 × 5 ÷ 2 = 10 cm.

Avec le centre, la donnée qu’on règle sur le compas pour tracer un cercle.

Pour construire un triangle ABC avec AB = 5 cm, AC = 4 cm et BC = 3 cm, on règle le compas sur 4 cm pour le centre A et sur 3 cm pour le centre B : leur croisement donne l’un des deux points possibles pour C.