Bissectrice et symétrie d’un angle

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Si un angle saillant est aigu, chacune des deux parts créées par sa bissectrice mesure moins de $45^\circ$.

   Vrai

   Chaque part vaut la moitié de l’angle : si l’angle est inférieur à $90^\circ$, sa moitié est inférieure à $45^\circ$.

2. 2

   Un angle de $140^\circ$ est partagé par sa bissectrice en deux angles de $70^\circ$, qui sont obtus.

   Faux

   Chaque part vaut $140 \div 2 = 70$ degrés. Or $70^\circ$ est inférieur à $90^\circ$ : ces angles sont aigus, et non obtus.

3. 3

   Si l’on trace la bissectrice d’un angle de $88^\circ$, puis celle de l’une des deux parts obtenues : cette part se partage alors en deux angles de $22^\circ$ chacun.

   Vrai

   La première bissectrice donne $88 \div 2 = 44$ degrés ; la seconde donne $44 \div 2 = 22$ degrés.

4. 4

   Si la bissectrice d’un angle crée deux parts de $45^\circ$ chacune, cet angle est aigu.

   Faux

   Les deux parts totalisent $45 + 45 = 90$ : l’angle initial mesure donc $90^\circ$. Un angle de $90^\circ$ est droit, pas aigu.

5. 5

   La bissectrice d’un angle de $100^\circ$ crée deux parts plus petites que celles de la bissectrice d’un angle de $110^\circ$.

   Vrai

   Un angle de $100^\circ$ donne deux parts de $50^\circ$, un angle de $110^\circ$ deux parts de $55^\circ$ : or $50 < 55$.

6. 6

   Si une droite est axe de symétrie d’un angle saillant de $70^\circ$, chacun des deux angles qu’elle crée mesure $70^\circ$.

   Faux

   Cette droite partage l’angle en deux parts égales, chacune de $70 \div 2 = 35$ degrés, et non de $70$ degrés.

7. 7

   Un angle de $72^\circ$ est saillant, et sa bissectrice crée deux angles aigus de $36^\circ$ chacun.

   Vrai

   $72^\circ$ est inférieur à $180^\circ$, donc l’angle est saillant ; sa moitié, $72 \div 2 = 36$, est inférieure à $90^\circ$.

8. 8

   Le partage d’un angle plat en deux angles égaux crée deux angles de $45^\circ$ chacun.

   Faux

   Un angle plat mesure $180^\circ$ : son partage en deux angles égaux donne deux angles de $180 \div 2 = 90$ degrés, et non de $45$ degrés.

9. 9

   Si l’on double un angle saillant de $40^\circ$ pour obtenir $80^\circ$, les deux parts créées par sa bissectrice doublent aussi.

   Vrai

   Chaque part vaut la moitié de l’angle : $40 \div 2 = 20$, puis $80 \div 2 = 40$ : les parts doublent bien.

10. 10

    Un angle de $90^\circ$ est aigu, puisqu’il est inférieur à $180^\circ$.

    Faux

    Un angle aigu mesure moins de $90^\circ$ ; $90^\circ$ est un angle droit.

11. 11

    Dans la symétrie d’axe la bissectrice de l’angle $\widehat{AOB}$, l’angle $\widehat{AOB}$ a pour image lui-même.

    Vrai

    La symétrie échange $[OA)$ et $[OB)$ : les deux côtés de l’angle permutent, donc l’angle se superpose à lui-même.

12. 12

    $\widehat{ABC}$ et $\widehat{CBA}$ désignent le même angle, car ils ont le même sommet $B$ et les mêmes côtés $[BA)$ et $[BC)$.

    Vrai

    Dans la notation, la lettre du milieu désigne le sommet, et les côtés sont $[BA)$ et $[BC)$ : seul l’ordre d’écriture change.

13. 13

    Un point $M$ du côté $[OA)$, distinct de $O$, appartient à la bissectrice de l’angle $\widehat{AOB}$.

    Faux

    La bissectrice passe par le sommet $O$ et sépare l’angle en deux parts : elle ne rencontre le côté $[OA)$ qu’en $O$.

14. 14

    Si $M$ est à l’intérieur de l’angle $\widehat{AOB}$ de $64^\circ$, avec $\widehat{AOM}=32^\circ$ et $\widehat{MOB}=32^\circ$, alors la droite $(OM)$ est la bissectrice de $\widehat{AOB}$.

    Vrai

    Les deux angles adjacents $\widehat{AOM}$ et $\widehat{MOB}$ sont égaux : la droite $(OM)$ partage donc $\widehat{AOB}$ en deux parts égales.

15. 15

    Un angle plat représente le quart d’un tour complet.

    Faux

    $180 \div 360 = \frac{1}{2}$ : un angle plat est la moitié d’un tour complet, et non le quart.